Extremos

Extremos condicionados.
Planteamiento geométrico. Supongamos una superficie, definida por la función , y sobre esta superficie tracemos una curva, definida por la ecuación g(x,y)=0 . Se trata deencontrar los máximos y mínimos de esta curva espacial.
Planteamiento analítico. Se trata de hacer máxima o mínima una función f(x,y) sujeta a una restricción g(x,y)=0.
Reducción a una variable:Teóricamente el problema se puede resolver despejando y en la ecuación g(x,y)=0: y=h(x) y sustituyendo en f(x,y) = f(x,h(x)) = k(x) , con lo cual el problema se reduce a calcular un máximo o un mínimo deuna sola variable.
El problema se presenta cuando no es práctico o no es posible despejar una de las variables en la ecuación g(x,y)=0.
Método de los multiplicadores de Lagrange. Los extremos de lafunción f(x,y) condicionados por la restricción g(x,y)=0, se producen en los puntos críticos de la función de Lagrange:

Condiciones necesarias de extremo. Las condiciones necesarias del extremo deuna función de Lagrange vienen dadas por el sistema de ecuaciones.

Para resolver el sistema, eliminamos de las dos primeras ecuaciones y el resultado lo sustituimos en la tercera (procurando noperder soluciones con las simplificaciones).
Condiciones suficientes para la existencia de extremos.
(a) Caso de dos variables. Sea un punto crítico de la función de Lagrange , obtenido para un valorconcreto . Formamos la función de Lagrange para ese

Para estudiar su naturaleza podemos seguir dos caminos:
(a-1) Método de la diferencial segunda: El problema de la existencia y el carácter delextremo condicional se resuelve averiguando el signo de la segunda diferencial de la función de Lagrange (particularizada para )

a condición de que:
Si la función tiene un mínimo condicionado, y sila función tiene un máximo condicionado.
(a-2) Método del Hessiano: Hallamos el hessiano de la función de Lagrange en el punto crítico correspondiente, y sólo podemos concluir en el caso de que...