Física

Coordenadas Parab´licas. o
Por Emilio Vilches. 6 de agosto de 2007
Calcular el elemento de volumen en coordenadas parab´licas ( , η, φ) que se relacionan con las coordeo nadas cartesianas de lasiguiente manera: x = η cos (φ) y = η sin (φ) z = 1 η2 − 2 2 donde η, ≥ 0 y φ ∈ [0, 2π]. Justifique el nombre de este sistema de coordenadas. Soluci´n. o En un sistema de coordenadas ortogonal se debecumple que dV = hu hv hw dudvdw donde hu , hv , hw son los factores escalares asociado a este sistema de coordenadas. en este caso se tiene que u = η, v = y w = φ. de (1) se tiene que cualquier punto enel espacio se puede expresar como: r (η, , φ) = η cos (φ) , η sin (φ) , 1 η 2 − 2
2

(1)

φ ∈ [0, 2π] η, ≥ 0

ahora verificamos que sea un sistema ortogonal, para ello calculamos :
∂r(η, ,φ) =( cos (φ) , sin (φ) , η) ∂η ∂r(η, ,φ) = (η cos (φ) , η sin (φ) , − ) ∂ ∂r(η, ,φ) = (−η sin (φ) , η cos (φ) , ) ∂φ

es f´cil verificar que estos vectores son ortogonales entre si, luego estos vectoresson linealmente indepena dientes, adem´s si los normalizamos (dividimos por su norma) estos vectores forman un vector ortonormal. a por definici´n los factores escalares son o ∂r hu = ∂u ∂r hv = ∂v ∂rhw = ∂w

1

luego
∂r 2 + η2 hη = ∂η = ∂r 2 + η2 h = ∂ = ∂r hφ = ∂φ = η

por lo tanto el diferencial de volumen es: dV =
2

+ η 2 η dηd dφ

notemos que para que este diferencial tengaunidades de volumen necesariamente η y deben tener 1 unidades de longitud 2 , este se desprende por an´lisis dimensional, pero tambi´n se puede obtener de (1). a e en efecto, al manipular un poco lasexpresiones de (1) se encuentra que:
1 x2 + y 2 + z 2 = 4 η 2 + 1 2 z=2 η − 2 2 2

de donde η= = x2 + y 2 + z 2 + z x2 + y 2 + z 2 − z
1

(2)

de donde si asumimos que (x, y, z) tienen unidadesde longitud entonces (η, ) tienen unidades de longitud 2 . Ahora la raz´n por que se llaman coordenadas parab´licas, surge de considerar dos casos: o o = cte = 0 , despejando de (2) se obtiene z= 1...