Fórmula de herón
Santiago Peña. Centro Grial. VA. 2010.
1.- Teorema (Fórmula de Herón).
En todo triángulo ABC se cumple que su área A se puede calcular como A donde p es elsemiperímetro, p abc. 2 pp a p b p c
2.- Demostración.
Sabemos que el área de un triángulo es igual a A 1 ab sin C 2 (expresión trigonométrica del área). Elevando al cuadrado: A 2 1 a 2 b 2sin 2 C. 4 y multiplicando por 4, 4A 2 a 2 b 2 sin 2 C. Por otra parte, del teorema del coseno c 2 a 2 b 2 2ab cos C se deduce que 2 2 c2 cos C a b 2ab que elevando al cuadrado nos da cos 2C a2 b2 c2 4a 2 b 2
2
1
lo que multiplicando por a 2 b 2 se transforma en a 2 b 2 cos 2 C 1 a 2 b 2 4 o, lo que es igual, 1 a2 b2 4 c2
2
c2
2
a 2 b 2 cos 2 C
2
Siahora sumamos las ecuaciones 1 y 2 tenemos 4A 2 1 a 2 b 2 c 2 2 a 2 b 2 sin 2 C a 2 b 2 cos 2 C. 4 El lado derecho se puede simplificar: a 2 b 2 sin 2 C a 2 b 2 cos 2 C a 2 b 2 sin 2 C cos 2 C a 2 b 2 1 a 2 b 2 con lo que la ecuación 3 queda como 4A 2 1 a 2 b 2 4 Multiplicando por 4 : 1 c2
2
3
a2b2.
16A 2 a 2 b 2 que se transforma en 16A 2 4a 2 b 2 4a 2 b 2 2ab 2ab 2ab c a b a2 b2 c2
2
c2
2
4a 2 b 2 c2
2
a2 b2
2
4 c2 c2 c2 c2 ab c
2
Vamos a reescribir el lado derecho de otra forma: 2ab a2 b2 a2 b2 a2 a2 a c2
c2
2ab a 2 b 2 2ab a 2 b 2 2ab a 2 b 2 ab ab ab
2
b2 c2 b2 c2 b a
2
c2 b b
2
c2 c2 c
2
c a
abc a bc ab c abc lo quevolviendo a la ecuación 4 nos da la expresión 16A 2 a b c a b c a b c a b c . Estudiemos los factores del lado derecho, teniendo en cuenta que p a b c Í 2p a b c 2 abc abc abc abc c abc ab 2a 2p 2b 2p 2c 2p 2a 2 p 2b 2 p 2c 2 p a b c
5
a b c 2p y así se transforma la ecuación 5 en 16A 2 2 p
a 2p
b 2p
c 2p
16A 2 16p p a p...
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