Factor De Dispersion Atomico

FACTOR DE DISPERSION ATOMICO
Denisse Reyes Arango Estructura de Materiales Recordemos que el factor de estructura para un material esta dado como: F (h ) = ∫ ρ (r ) exp(2πih ⋅ r )dV

(1)

Donde el factor de estructura es la integral de Fourier de la densidad electrónica ρ (r ) , F (h ) es una “imagen” en el espacio recípro de la densidad electrónica, h es el vector de dispersión, en la redrecíproca, y esta dado como h = k − k 0 , r es el vector de posición de un elemento de volumen dV, figura 1.

r

k

Rayos X

2θ

k0

Figura 1. Esquema de dispersión de Rayos X Respecto al factor de estructura y a la densidad electrónica, si es el caso en que se conoce la densidad electrónica, entonces es fácil conocer el factor de estructura solo con sustituir ρ (r ) en la ecuación (1),sin embargo, si se conoce la magnitud del factor de estructura es difícil conocer la densidad electrónica. Para encontrar el factor de estructura tomaremos unas consideraciones: 1. La materia esta compuesta de átomos independientes, esto no lleva a que el efecto de enlaces químicos sea despreciado. 2. Pequeñas oscilaciones alrededor del punto de equilibrio. 3. Suponemos una geometría esférica. 4.La densidad electrónica ρ (r ) en un punto r es superposición de las densidades electrónicas de los átomos, donde cada una esta centrada en la posición r j del jésimo átomo. Entonces la densidad electrónica la expresamos como una suma, de la siguiente forma:

ρ (r ) = ∑ ρ j (r − r j )
j

N

Donde N es el número de átomos en la celda unidad. Sustituimos esta densidad electrónica en laexpresión para el factor de estructura, ecuación (1), pero hacemos un cambio de variable u = r − r j y entonces r = u + r j , el factor de estructura queda como

F (h ) = ∫ ∑ ρ j (u ) exp(2πih ⋅ (u + r j ))dV F (h ) = ∑
j N

N j

{∫ ρ (u ) exp(2πih ⋅ u )dV }exp(2πih ⋅ r )
j j

F (h ) = ∑ f j (h ) exp(2πih ⋅ r j )
j

N

(2)

Donde f j (h ) es el factor de dispersión atómico, el cualnos da la capacidad de dispersión de un átomo en particular, y esta dado como (3) f j (h ) = ∫ ρ j (u ) exp(2πih ⋅ u )dV Simplifiquemos esta integral para ver que más podemos obtener de ella. Como tenemos simetría esférica, por comodidad elijamos que el vector de dispersión h = k − k 0 se encuentre en dirección del eje Z, como se muestra en la figura 2.

h
r

k

Rayos X

2θ

k0

θ

uϕ

Figura 2. Geometría esférica del átomo y diagrama de coordenadas esféricas. Entonces el factor de dispersión atómico queda expresado como f j (h ) = ∫ ρ j (u ) exp(2πih ⋅ u )dV
f j (h ) = ∫
∞ 2π π 0 0 0 ∞

∫∫ρ
0

j

(u ) exp(2πih ⋅ u )u 2 senθdθdϕdu
π

f j (h ) = 2π ∫ ρ j (u )u 2 ∫ exp(2πihu cos θ ) senθdθ du
0

Resolvamos la integral que depende del ángulo θ, haciendo uncambio de variable de la forma t = 2πhu cos θ dt = −2πhusenθdθ −2πhu π −1 −i ⇒ ∫ exp(2πihu cos θ ) senθdθ = ∫huexp(it )dt = 2πhu (exp(−2πihu ) − exp(2πihu )) 2πhu 2π 0
⇒ ∫ exp(2πihu cos θ ) senθdθ =
0

π

2 sen(2πhu ) 2πhu

Entonces el factor de estructura queda como

f j = 2π ∫ ρ j (u )u 2
0

∞

2 sen(2πhu ) du 2πhu

(4)

Veamos que pasa si no hay dispersión, es decir, si elvector de dispersión h es igual a cero. Tanto en la ecuación (3) como en la ecuación (4) se obtiene algo de la siguiente forma (5) f j (0) = ∫ ρ j (u )dV = Z Es decir, se tiene la densidad electrónica integrada sobre todo el volumen, si recordamos que la densidad electrónica es electrones por unidad de volumen entonces al integrar sobre todo el volumen obtenemos el numero de electrones en el átomo,si el átomo es neutro, entonces se obtiene el número atómico Z correspondiente. Ahora usando la Ley de Bragg, tenemos que 2dsenθ=λ, y además que d=1/|h|, entonces |h|/2=senθ/λ, el factor de estructura queda como ∞ sen(4πusenθ / λ ) (6) f j = 4π ∫ ρ j (u )u 2 du 4πusenθ / λ 0 De esta última ecuación se ve que el factor de dispersión atómico es función de senθ/λ. Si graficamos la ecuación (6) vamos...