Factor de integracion

FACTOR DE INTEGRACION
Sea la ecuación diferencial de la forma Mx,ydx+Nx,ydy=0
Donde M y N representan las derivadas parciales de cada una de las funciones que resulta de
df(x,y)=0
Si al verificar no se demuestra que es una diferencial exacta entonces se determina o encuentra una función φ(x,y) que se denomina factor de integración que al multiplicar a la ecuación diferencial latransforma en una ecuación diferencial exacta.
φx,yMx,ydx+φx,yNx,ydy=0
Entonces para resolver la E.D.O. se debe verificar nuevamente si es exacta
∂φx,yM(x,y)∂y=∂φx,yN(x,y)∂x
Para determinar el factor de integración se puede clasificar de la siguiente manera:
Caso I)
Si el factor de integración es de variable “x” se determina una función f(x) de la siguiente manera
fx=∂M∂y-∂N∂xN→ φ=efxdx
Caso II)
Si el factor de integración tiene una función de una variable “y” se determina de la siguiente manera
fy=∂M∂y-∂N∂x-M →φ=efydy
Caso III)
Si la E.D.O. Mx,ydx+Nx,ydy=0
Es homogénea y xM+yN≠0 entonces el factor de integración se determina de la siguiente manera:
φ=1xM+yN
Caso IV)Si la suma de las derivadas parciales es igual a cero, además una de las derivadas parciales es diferente de la otra el factor de integración se determina de la siguiente manera:
x∂M∂y+y∂N∂x=0 ∂M∂y≠∂N∂x
φ=1∂M∂y-∂N∂x
Caso V)
Si ninguno de los anteriores casos se enmarca a la E.D. para determinar el factor de integración se debe utilizar latabla de factores de integración que se encuentra en el libro de Murray Spiegel
Ejemplo
Hallar la solución de la E.D.O.
ydx-x+x2ydy=0
Solución
1. Determinar si la E.D.O. es exacta
∂M∂y=1 ∂M∂y≠∂N∂x
∂N∂x=-1-2xy

2. Determinar el factor de integración
fx=∂M∂y-∂N∂xN
fx=1--1-2xy-x+x2y
fx=21+xy-x1+xy
fx=-2x
φ=efxdxφ=e-2xdx=e-2lnx =elnx-2
φ=1x2
3. Transformar la E.D.O.
ydx-x+x2ydy=0
yx2dx-1x2x+x2ydy=0
yx2dx-1x2x1+xydy=0
yx2dx-1x+ydy
φMx,y=yx2
∂φM(x,y)∂y=1x2
φNx,y=-1x+y
∂φN(x,y)∂x=1x2
Es ecuación diferencial exacta
4. Resolver a E.D.O.
fx,y=yx2dx+cy
fx,y=-yx+cy
∂f∂y=-1x+dcydy
∂f∂y=φN(x,y)
-1x+dcydy=-1x+y
dcydy=-y
cy=-ydy
cy=-y22+c
La solución será:
fx,y=-yx-y22+c
yx+y2x=cECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN

Primer orden porque aparece la primer derivada
Lineal una de las variables es de grado uno
La Ecuación lineal de primer orden se define cuando la derivada es de primer orden y una de las variables es de primer grado esto hace que sea Ecuación diferencial lineal y tiene las siguientes formas:
dydx+Pxy=Qx 1)
Donde P(x) y Q(x) sonfunciones de variable X no es función polinomial es cualquier función
Y también se dice que es lineal respecto de la variable “y” entonces su solución de esta ecuación tiene la forma:
yePxdx=eP(x)dxQxdx+c
2. Si la ecuación diferencial lineal tiene la forma
dxdy+Pyx=Q(y)
Donde P (y) y Q (y) son funciones de variable “y”
La E.D. es lineal respecto de la variable “x”
Entonces su soluciónserá:
xeP(y)dy=eP(y)dyQydy+c
Demostración
1. Hipótesis ¿de quién voy a hablar?
Sean las funciones P(x) y Q(x) funciones reales de variable “x” e y=f(x) sea la función solución de la Ecuación Diferencial
dydx+Pxy=Qx
2. Tesis:
Si la E.D.
dydx+Pxy=Qx
Es lineal de primer orden tiene como solución
yePxdx=eP(x)dxQxdx+c
3. Demostración
Por hipótesis tenemos que:
dydx+Pxy=QxMultiplicando por eP(x)dx
dydxePxdx+PxyeP(x)dx=QxeP(x)dx 1)
Aplicando la derivada de un producto
deP(x)dxydx=eP(x)dxdydx+deP(x)dxdxy

deP(x)dxydx=eP(x)dxdydx+ePxdxdP(x)dxdxy
Teorema fundamental del cálculo
P(x)dx’=P(x)
deP(x)dxydx=eP(x)dxdydx+ePxdxPxy 2)
Reemplazando 2) en 1)
deP(x)dxydx=eP(x)dxQ(x)
deP(x)dxy=eP(x)dxQx
Integrando tenemos
deP(x)dxy=eP(x)dxQx...