factor estructura

LA DENSIDAD ELECTRÓNICA



Conocer (ó ver) la estructura interna de un cristal supone poder resolver una función matemática que define la denominada "densidad electrónica", que es una función que está definida en cada punto de la celdilla unidad, ó celdilla elemental (un concepto básico de la estructura de los cristales y que se introducía en algún apartado anterior).

Esta función dedensidad electrónica, representada por la letra griega ρ  tiene un valor determinado en cada punto (x, y, z) de la celdilla elemental y allí en donde toma valores máximos (estimados en términos de "electrones por Angstrom cúbico") es en donde estarán localizados los átomos que componen un cristal, dándonos por lo tanto la localización de los mismos.
 



Fórmula 1. Función que define la densidadelectrónica en un punto de coordenadas (x, y, z) en la celdilla elemental
F(hkl) representa a las ondas resultantes de la dispersión de todos los átomos en cada una de las direcciones y se denominan factores de estructura. Sus módulos están directamente relacionados con las intensidades de las reflexiones del espectro)
h, k, l  son los índices de Miller de las reflexiones y Φ(hkl) representa lasdenominadas "fases" de las reflexiones (las fases de unas ondas respecto de otras)



La ecuación de más arriba (Fórmula 1) representa la transformada de Fourier entre el espacio real (en donde están los átomos) representado por la función ρ y el espacio recíproco (en donde está el espectro) representado por los factores de estructura y sus fases. La Fórmula 1 demuestra igualmente el llamadocarácter "holísitico" de la difracción, ya que para obtener el valor de la densidad electrónica en un sólo punto de coordenadas (xyz) es necesario sumar las contribuciones de todos los factores de estructura.

Es importante darse cuenta que la cantidad y calidad de información que proporciona la función de densidad electrónica, ρ, es muy dependiente de la cantidad y calidad de los datos que sesuministren a la fórmula, que no son otros que los factores de estructura, F(hkl) (módulos y fases!). Más adelante veremos que los módulos se obtienen directamente del experimento de difracción.

La expresión analítica de los factores de estructura, F(hkl), es sencilla y en ella interviene una nueva magnitud (ƒj ) denominada factor de dispersión atómica (definida en otro apartado anterior) que dacuenta del poder con el que los electrones de los átomos j dispersan a los rayos X:



Fórmula 2. Factor de estructura para cada haz difractado. Esta función es la "inversa" de la Fórmula 1.
Recoge la dispersión f de todos los electrones de todos los átomos j que están contenidos en la celdilla elemental de un cristal

Los factores de estructura F(hkl) son ondas y por lo tanto se puedenrepresentar por sus módulos, amplitudes [F(hkl)], y por sus fases Φ(hkl), medidas respecto de un origen común de fases.




Desde el punto de vista experimental es relativamente sencillo poder medir las amplitudes [F(hkl)] resultantes de todas las ondas difractadas de un cristal. Basta para ello disponer de una fuente de rayos X, de un cristal de la sustancia en estudio y de un detectorapropiado. En la práctica se miden las intensidades, I (hkl), que están directamente relacionadas con las amplitudes a través de:


Fórmula 3. Relación entre el módulo de los factores de estructura [F(hkl)] y la intensidad I(hkl) de los puntos del espectro de difracción.

K es un factor que lleva los factores de estructura experimentales (Frel) a la escala absoluta, es decir a la escala de losfactores de estructura calculados (teóricos). Este factor se puede determinar, de modo aproximado, usando los datos experimentales mediante el denominado plot de Wilson.
 



Plot de Wilson. I rel representa la intensidad promedio (en escala relativa) en un determinado intervalo de θ, fj es la suma al cuadrado de los factores atómicos de dispersión en esa zona angular, y λ es la longitud de onda...