Factor Integrante

ECUACIONES LINEALES CON FACTOR INTEGRANTE

A1 (x) dy + A0 (x) y = Ƒ (x)
dx

se divide por A1 (x) se tiene

dydx+A0(x)A1(x) y= Ƒ(x) A1(x)P (x) Q (x)

dydx+P (x) y=Q (x)

m (x) =e⨜Pxdx

Ejercicios.

Pág. 65
Eje. 4

3dydx+12 y=4

E.D.1

dydx+4 y= 43

P(x)= 4 ; Q(x)= 43

FactorIntegrante

m (x) =e⨜4dx =e4x

Multiplico E.D.1 por el F.I.

e4x .dydx+4e4x y=e4x . 43

ddx(e4x .y)= 43e4x

⨜d(e4x .y)=⨜ 43e4x dx

e4x = 43 . e4x 4+C
Rta /

y =13+Ce-4x

Eje. 6

E.D.1

y'+2 xy=x3

P(x)= 2x ; Q(x)= x3

Factor Integrante

m (x) =e⨜2xdx =ex2

Multiplico E.D.1 por el F.I.

ex2 .dydx+ex2 2xy=ex2 .x3ddx(ex2 .y)=ex2 .x3

⨜d(ex2 .y)=⨜x3 ex2 dx

ex2 .y= 12x2 ex2 -⨜ xex2 dx

*solución de la segunda integral.

u =x2 dv = xex2 dx
du =2x dx v =12ex212du=x dx

=12⨜eu du

=12eu

=12ex2

ex2 .y= 12x2 ex2 - 12ex2
ex2 .y=ex2 2 x2 – 1+C
Rta /
y=12 x2 – 1+C e-x2
Eje. 17

cosxdydx+(sen x) y=1

E.D.1

dydx+sen xcosx. y=1cosx

dydx+tanx. y=secx

P(x)= tan x ; Q(x)= sec x

Factor Integrante

m (x) =e⨜tanxdx =eIn(secx) =secx

*solución de la integral
⨜tan x dx = ⨜sen xcosx dx = -⨜duu = -In u=-In cos x =-In (cos x)-1
du=-sen x dx
Multiplico E.D.1 por el F.I.

secx.dydx+(secx .tanx )y=sec2 x

⨜dsec x .y=⨜sec2 x dx

y=tanx+Csecx

y=sen xcosx1cosx+C11cosxRta /

y = sen x + C cos x
Eje. 24

x2 – 1dydx+2 y=(x+1)2

E.D.1

dydx+2x2 – 1. y= (x+1)2 x2 – 1

dydx+2x2 – 1. y=(x+1)(x+1)(x-1)(x+1)

P(x)= 2x2 – 1 ; Q(x)= (x+1)(x-1)Factor Integrante

m (x) =e⨜2x2 – 1dx =eIn x-1x+1 =x-1x+1

*solución de la integral
⨜2x2 – 1 dx = ⨜2(x-1)(x+1) dx = ⨜1x-1 dx - ⨜1x+1 dx = In x-1 - In x+1 = In x-1x+1