Factor integrante

Algunos Factores Integrantes para Exactas

ElkinMauricioC.R.

Ecuaciones Diferenciales que se pueden llevar a EXACTAS con un FACTOR
INTEGRANTE
En ocasiones una ecuacióndiferencial M ( x , y ).dx  N ( x , y ).dy  0 que no es
exacta, multiplicándola por una función adecuada u( x , y ) se puede “convertir” en
exacta, a la función u( x , y ) se leconoce como un factor integrante.
Existen varias formas de, en caso de ser posible, conseguir un factor Integrante.
1. Factor integrante u( x ) , que solo depende de la variable x;En caso de que

My  Nx
N

 g( x ) , sea función solo de la variable x,

(admitiendo Constante), el factor integrante será: u( x )  e 

g ( x ).dx

2. Factor integrante u( y) , que solo depende de la variable y;
En caso de que

Nx  My
M

 h( y ) , sea función solo de la variable y,

(admitiendo Constante), el factor integrante será: u( y )  e h( y ).dy

Teniendo el factor integrante se resuelve la Nueva ecuación Exacta;
uMdx  uNdy  0

Ejemplos:

1. ( y 2  x )dx  2 ydy  0

2. ydx  ( y  6 y 2 )dy  0

Otrosfactores integrantes, pueden no ser funciones solo de x o solo de y:
Ejemplo 3.
a. u 

1
x2

Ejemplo 4.

ydx  xdy  0

b. u 

admite varios factores integrantes:
1
y2

c. u 1
x  y2
2

d. u 

1
xy

( x 2 y  y 5 )dx  ( 2 xy 4  2 x 3 )  0 admite el F. I. u( x , y ) 

1
x y3
2

Comprueben lo anterior lo anterior verificando la Exactitud de lasnuevas
ecuaciones y Resuélvanlas.

Algunos Factores Integrantes para Exactas

ElkinMauricioC.R.

Para la ecuación: ( y 2  x )dx  2 ydy  0
,
Veamos si

;

, no es exacta

esfunción solo de :

si es función solo de . Tendremos como factor integrante para
convertir a exacta

La nueva ecuación

, es EXACTA. Verifiquemos:
; Efectivamente, coinciden.