Factoreo

Unidad 1: Factoreo de expresiones algebraicas
¨



DEFINICION: Factorear un polinomio es transformarlo en un producto de expresiones algebraicas

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No todos los polinomios se pueden factorear. El factoreo de polinomios es mucho mas
complejo que el factoreo de n´meros, por eso los polinomios que se pueden factorear se clasifican
u
en diferentes grupos, seg´n las caracter´
u
ısticasparticulares que presentan. Para los polinomios
pertenecientes a cada uno de esos grupos se da la regla correspondiente para su factoreo.
Los diferentes grupos en que se re´nen los polinomios para factorear dan lugar a los siguientes
u
casos de factoreo.

1

Factor com´ n
u

Una expresi´n algebraica es factor com´n de todos los t´rminos de un polinomio cuando figura
o
u
e
en todosellos como factor.
e
Observaci´n importante: si tenemos a + b, a y b se dicen t´rminos. Si se tiene a.b, a y b
o
se dicen factores.
Regla: Si en todos los t´rminos de un polinomio se encuentra un factor com´n, dicho polinomio
e
u
es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada t´rmino por ese
e
factor.
Ejemplo:
En el polinomio 2a + ab − 3 ac el factor com´nes a y de acuerdo con la regla conocida para
u
5
sacar factor com´n se puede escribir:
u
3
2a + ab − 5 ac = a 2 + b − 3 c
5

Observar que el polinomio que resulta al sacar factor com´n debe tener igual n´mero de
u
u
t´rminos que el polinomio dado.
e
Trabajo Pr´ctico N° 1
a
Sacar factor com´n de las siguientes expresiones
u
1. 25a3 b2 − 10a5 y 2 + 5a2 b3 y + 15a6 b5
2. 4ay 3 z 4− 10a3 y 5 z + 24ay 2
3. 169a5 b3 c − 13ab3 c5
4. 125a4 b5 c5 − 45a5 b3 c4 x3 + 5a3 b2 c4 − 300a4 b2 c8 x − 10a3 b2 c5
5. 18a2 b4 c2 − 54a2 b5 c2 x − 18ab3 c2 + 36a2 b4 c4 − 90ab3 c5 x3 + 72ab4 c2 x3 y
6. 6a4 b3 − 4a5 b2 − 12a3 b2 + 2a4 b4 − 6a3 b3
1

7. 9m5 p2 − 3m3 p3 + 8m4 − m3 p + 5m4 p5 − m3 p6
8. 4x2 y 9 z 4 − 36x2 y 5 z 2 p4 m − 12xy 5 z 2 p5 + 8xy 7 zp − 4x2 y 10 z 2 + 16xy 5 z9.

3 2 3
axy
4

+ 4a5 x2 y 3 − 6a4 x6 − 10ax4

10. 22a5 b4 x3 − 33a4 b3 cy +

2

11 3 2
a b cx5
2

− 121a2 b3 xy

Factor com´ n en grupos
u

Regla: Si los t´rminos de un polinomio pueden reunirse en grupos de igual n´mero de t´rminos
e
u
e
con un factor com´n en cada grupo, se saca en cada uno de ellos el factor com´n. Si queda la
u
u
misma expresi´n en cada uno de lospar´ntesis, se le saca a su vez factor com´n, quedando as´
o
e
u
ı
factoreado el polinomio dado.
Ejemplo:
Dado el polinomio 3x − 2ab + nx − 2bx + an + 3a se observa que no existe un factor com´n a
u
todos los t´rminos; pero que el primero, el tercero y el cuarto t´rmino tienen un factor com´n x
e
e
u
mientras que el segundo, el quinto y el ultimo tienen factor com´n a. Agrupando lost´rminos
´
u
e
que admiten un factor com´n, el polinomio dado puede escribirse:
u
3x − 2ab + nx − 2bx + an + 3a = (3x + nx − 2bx) + (−2ab + an + 3a)
Sacando factor com´n en cada una de las expresiones encerradas entre par´ntesis se tiene:
u
e
(3x + nx − 2bx) + (−2ab + an + 3a) = x(3 + n − 2b) + a(−2b + n + 3)
Lo que queda entre par´ntesis en el segundo miembro de esta ultima expresi´nes igual en
e
´
o
ambos t´rminos y por lo tanto se puede sacar nuevamente factor com´n. Entonces:
e
u
x(3 + n − 2b) + a(−2b + n + 3) = (3 + n − 2b)(x + a)
Por lo tanto:
3x − 2ab + nx − 2bx + an + 3a = (3 + n − 2b)(x + a)
Trabajo Pr´ctico N° 2
a
Factorear las siguientes expresiones:
1. 2ax + 2bx − ay + 5a − by + 5b
2. am − an + ax − bn + cn + bm − cm + bx − cx
3.

1 2
ax
2

1
−2ax2 + ax − 2 ab + 2bx − b

4. 15a2 − 3am − 3 a − 5ax + xm + 1 x
2
2
5. 15mx + 6m + xy − 2x − 5x2 − 3my
6. 7x + y − xy − 7 − z 2 + xz 2
7. 3x2 − 4y + 3x2 a2 − 4a2 y
8. a2 y + ab2 − axy − b2 x
9. a2 x + b2 x + a2 + b2
10. 2a2 b − 3ab2 + 4am − 6bm
2

3

Trinomio cuadrado perfecto

Definici´n: Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus
o
t´rminos son...