Factores Aleatorios

FACTORES ALEATORIOS

Resumen - Un factor aleatorio es aquel cuyos niveles son escogidos de forma aleatoria entre todos los posibles del factor. Estos niveles fijados que toma el factor aleatorio son tan sólo una muestra de la población de niveles sobre los que se hace inferencia.
INTRODUCCIÓN
Al inicio del contenido en el curso de diseño y análisis de experimentos Estadística III hemossupuesto que los factores de un experimento son factores fijos, esto es, los niveles de los factores usados en el experimento son los niveles específicos de interés. Esto involucra que las inferencias estadísticas que se hagan sobre estos factores están limitadas a estos niveles específicos estudiados. Ahora estudiaremos los factores aleatorios aplicados a un experimento de la vida real.
MODELO CONEFECTOS ALEATORIOS
Un factor es un grupo de tratamientos que han sido agrupados según algún criterio que todos los miembros de este grupo comparten en forma común.
Un factor es aleatorio cuando es obtenido al azar, es decir, que todo valor posea la misma probabilidad de ser escogido y que la elección de uno no dependa de la elección del otro.
Se habla de factores aleatorios cuando esimportante demostrar si ciertos factores influyen o no en la variabilidad y muestreamos eligiendo al azar los niveles de los factores de una población más grande para sacar conclusiones acerca de la población en general, la población de estos niveles debe ser de tamaño infinito o lo suficientemente grande para considerarla infinita, en caso contrario es necesario aplicar correcciones para poblacionesfinitas en la formulación matemática del modelo.
El modelo lineal para un solo factor es:
y_ij=μ+τ_i+ε_ij {■(i=1,2,…,a@j=1,2,…,n)}
Donde τ_i como ε_ij son variables aleatorias.
Si todos los factores son aleatorios, entonces el modelo de análisis de varianza recibe el nombre de modelo de los efectos aleatorios o de los componentes de la varianza, especificada por:
V(y_ij )= σ_τ^2+ σ^2
Si algunosfactores son fijos y otros aleatorios, el modelo de análisis de varianza se conoce como modelo mixto. El análisis estadístico de los modelos aleatorios y mixtos es muy similar al de los modelos de efectos fijos las diferencias principales son el tipo de hipótesis que se prueban, la construcción de los estadísticos de prueba para estas hipótesis y la estimación de los parámetros del modelo.
Paraprobar hipótesis en este modelo de los efectos aleatorios se requiere que las ε_ij sean NID (0, σ^2), que las τ_i sean NID (0, σ_τ^2), y que τ_i y ε_ij sean independientes.
DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES ALEATORIOS
Si consideramos un experimento con dos factores A y B donde los a, b niveles correspondientes son seleccionados aleatoriamente de un número grande de posibilidades, en donde setoman n repeticiones en un arreglo factorial, obtendremos el siguiente modelo lineal:
y_ijk=μ+〖τ_i+β〗_j+〖(τβ)〗_ij+ε_ijk
Donde 〖τ_i,β〗_j,〖(τβ)〗_ij,ε_ijk son variables aleatorias independientes que se presumen normales con promedio cero (0) y varianzas σ_τ^2,σ_β^2,σ_τβ^2 y σ^2 respectivamente. Por lo que la varianza de cualquier observación estará dada por:
V(y_ijk )= σ_τ^2+σ_β^2+ σ_τβ^2+ σ^2Donde los estimados de varianza son conocidos como los componentes de varianza.
En estos casos las hipótesis que resultan de interés son:
H_0=σ_τ^2=0 H_0=σ_β^2=0
H_0=σ_τβ^2=0
Los estimados de las sumas de cuadrados para las distintas fuentes de variación se obtendrán presumiendo factores fijos. Al implantar el concepto de factores aleatorios, lo que puede cambiar es la forma de conducir laprueba F; con esto nos referimos al cociente que consideraremos para realizar la misma. Para hacer esto correctamente es necesario considerar las medias cuadradas esperadas.
Puede probarse que las medias cuadradas para el experimento con dos factores A, B y la interacción son:
E(MS_A )=σ^2+nσ_τβ^2+bnσ_τ^2
E(MS_B )=σ^2+nσ_τβ^2+anσ_β^2
E(MS_AB )=σ^2+nσ_τβ^2
E(MS_E )=σ^2
Entonces para probar...