FACTORES DEPRODUCTIVIDAD

Desarrollo del Tema por Emilio Bórquez
En ocasiones para poder resolver un problema que involucre expresiones algebraicas es conveniente representarlas como pro­ductos, cuando esto sea posible se dirá que se ha factorizado y presentamos algunos casos de los más comunes en álgebra elemental.
Factor Común
Factorizar por factor común una expresión algebraica es representarla como un productomediante el uso de una o varias veces de la propiedad distributuva de los números reales, que como ya sabemos es: xy + xz = x(y+z). Ver la Ley del Mosquetero
Ejemplo 1 . Factorizar
a) x2 — 9x = x(x—9)
b) 6x3y2 - 4x2y5 + 18xy6 = 2xy2 (3x2 — 2xy3 + 9y4)
c) 5x3 — lOx2 + 15x = 5x(x2 — 2x + 3)

Binomios con Término Semejante (ax+b)(cx+d) = acx2 + (ad + bc)x + bd
Este método se basa en elhecho de que si aplicamos dos veces la ley distributiva, ver Ley del Mosquetero al siquiente producto: (ax+b)(cx+d) obtenemos como resultado ac x2 + (ad + bc) x + bd
Para una forma más eficiente de su uso veamos el mismo resultado de la siguiente forma:
ac x2
+ (ad + bc) x
+ bd
a
 
b
c
 
d
Al acomodar los factores adecuados abajo de la expresión, si multiplicamos en cruz: a por c y bpor b vemos que su suma es el coeficiente de x, por lo que esto nos dá una herramienta directa para factorizar expresiones de esta forma.
Ejemplo 2
Factorizar 6 x2 + 13 x + 6
6 x2
+ 13 x
+ 6
3
 
2
2
 
3
Vemos que colocando los factores de esta forma los productos cruzados son 9 y 4 y como la suma es 13 que es el término de enmedio el resultado es
(3x + 2) (2x + 3)
Vemos queacomodamos los términos de otra forma no obtenemos el resultado, por ejemplo si escribimos:
6 x2
+ 13 x
+ 6
3
 
3
2
 
2
El resultado de la suma de los productos cruzados es 6 + 6 = 12 que no es el coeficiente del segundo término, por lo que el éxito de este método es el de probar y encontrar los factores adecuados, con los signos y el orden correcto.
Ejemplo 3:
Factorizar 5 x2 -7 x - 6
5 x2
- 7 x
- 6
5
 
+3
1
 
−2
Vemos que colocando los factores de 5 y de −6 de esta forma los productos cruzados son −10 y 3 y como la suma es −7 que es el término de enmedio el resultado es
(5x + 3) (x - 2)
Ejemplo 4:
Factorizar 9a2 — l2ab3 + 4b6
9a2 — l2ab3
 
+ 4b6
3a
 
−2b3
3a
 
−2b3
Vemos que colocando los factores de 3 y de −2 de esta forma losproductos cruzados son −6 y −6 y como la suma es −12 que es el término de enmedio el resultado es
(3a - 2b3)(3a - 2b3)
(3a - 2b3)2

Ejercicios:
a) 25 — x2
e) — x2 — x - 6
f) 6x2 + x —2
Trinomio cuadrado perfecto
Otra manera de ver el ejemplo anterior es considerarla como un trinomio cuadrado perfecto, esto es; el resultado de elevar al cuadrado un binomio. El primer término seria 3a yel segundo 2b3 , y el término de en medio es el doble de su producto, por lo que tenemos:
(3a - 2ab3)2
9a2 —l2ab +4b2 = (3a — 2b)2
Agrupación
En muchas ocasiones no es posible factorizar una expresión dada por alguno do los métodos anteriores, sin embargo es posible agrupar los términos en dos partes, cada una de los cuales se puede factorizar por un método conocido; si después de separar yfactorizar resultan términos con factor comón se puede aplicar el primer método, que viene siendo Ley del Mosquetero y la expresión inicial quedara factorizada.
Ejemplo 5 :
x3 — x2 +2x — 2
Factorizamos lo dos primeros términos y después los segundos
x2( x - 1) + 2(x — 1)
(x — 1)( x2 + 2)
Ejemplo 6 :
x3 +2x2 −3xy +y2 -y3
Agrupamos el primero y el ultimo término y después apliquemosel método
x3 -y3 +2x2 −3xy +y2
(x -y)(x2 +xy +y2 ) + (x —y)(2x —y)
(x —y)(x2 +xy+ y2 +2x -y)
Ejercicios:
a) ax -ay -bx +by
b) 20ac + 15bc +4ad + 3bd
c) 18a3 + 12a2 - 15a - 10
Productos notables
Como factorizar es basicamente lo contrarío de multiplicar, uno de los metódos más útiles en factorizaclón se obtiene al aplicar los [Productos Notables]], ya que son productos con los...