Factores Integrantes

FACTORES INTEGRANTES

Dentro del conjunto de ecuaciones diferenciales, seguramente notara el lector que no todas las ecuaciones diferenciales son exactas, ya que la condiciónde exactitud es una realidad difícil de cumplir en todas ellas. Sin embargo, de todas aquellas ecuaciones diferenciales que no son exactas, podemos transformar algunas de ellaspara que se conviertan en exactas. Consideremos la ecuación diferencial que de antemano no es exacta, Como la ED no es exacta cumple:

Un Factor de Integración o Factor Integrantede una ecuación diferencial de la forma , es una función F(x, y) tal que al multiplicar la ecuación diferencial por F(x, y) se transforma en exacta. Así:

Donde debe cumplir:Un dato importante es que el factor integrante pude ser función de ambas variables (x, y) o bien, de una sola variable.
Factores de integración de una ecuación diferencial enalgunos casos específicos tienen diferentes fórmulas para resolver.
Estas fórmulas ´únicamente darán factores de integración de una sola variable. Una fórmula será para un factoren términos de x y la otra, ser ‘a para un factor que dependa de y.

Factor de Integración en Función de x

Factor de Integración en Función de y:

Ejemplos:
1) Escribala siguiente ecuación diferencial de la forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 y posteriormente determine un factor de integración para convertirla en exacta.

Solución:

Buscandoun factor de integración, , entonces dividimos entre N(x, y) para formar una función de x exclusivamente

Y la nueva ecuación diferencial que ya es exacta es:

2) Parala siguiente ecuación diferencial, determine un factor de integración y luego encuentre la solución general.

Solución:

y la nueva ecuación diferencial, que ya es exacta es: