factorial de un numero
Páginas: 8 (1845 palabras)
Publicado: 23 de marzo de 2013
FACTORIAL DE UN NUMERO
Factorial
El factorial Para todo entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, losnúmeros naturales) hasta n.
La multiplicación anterior se puede simbolizar también como
La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmenteen combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental, el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos. Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los estudiosos indios. La notación actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803.
La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendosus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del análisis matemático
Cero factorial
La definición indicada de factorial es válida para números positivos. Es posible extender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, en especial es posible definirla para cualquier número real excepto para los números enteros negativos ypara cualquier número complejo exceptuando de nuevo los números enteros negativos.
Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero. De acuerdo con la convención matemática de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como 0!=1.
Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, como sigue:
Para cada número entero positivo n mayor que 1,es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad:
,
válida para todo número mayor o igual que 1.
Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque
4!=,
y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que
3!=.
El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 ya que
Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en que n'=1tendríamos que 0! corresponde a
Aunque el argumento puede resultar convincente, es importante tener en cuenta que no es más que un argumento informal y que la razón real por la cual se toma la convención de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convención de producto vacío usada en muchas otras ramas de las matemáticas.
[editar]Aplicaciones
Los factoriales se usan mucho en la rama dela matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n:
donde representa un coeficiente binomial:
Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Segeneralizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en la teoría de números.
Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:
La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.
El factorial de n es generalizado para cualquier númeroreal n por la función gamma de manera que
[editar]Productos similares
Primorial
El primorial (sucesión A002110 en OEIS) se define de forma similar al factorial, pero sólo se toma el producto de los números primos menores o iguales que n.
Doble factorial
Se define el doble factorial de n como:
Por ejemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 y 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. La sucesión de doblesfactoriales (sucesión A006882 en OEIS) para empieza así:
1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...
La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de números negativos:
Y esta es la sucesión de dobles factoriales para :
El doble factorial de un número negativo par no está definido.1233
Algunas identidades de los dobles factoriales:
1.
2.
3.
4.
5....
Factorial
El factorial Para todo entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, losnúmeros naturales) hasta n.
La multiplicación anterior se puede simbolizar también como
La operación de factorial aparece en muchas áreas de las matemáticas, particularmenteen combinatoria y análisis matemático. De manera fundamental, el factorial de n representa el número de formas distintas de ordenar n objetos distintos. Este hecho ha sido conocido desde hace varios siglos, en el s. XII por los estudiosos indios. La notación actual n! fue usada por primera vez por Christian Kramp en 1803.
La definición de la función factorial también se puede extender a números no naturales manteniendosus propiedades fundamentales, pero se requieren matemáticas avanzadas, particularmente del análisis matemático
Cero factorial
La definición indicada de factorial es válida para números positivos. Es posible extender la definición a otros contextos introduciendo conceptos más sofisticados, en especial es posible definirla para cualquier número real excepto para los números enteros negativos ypara cualquier número complejo exceptuando de nuevo los números enteros negativos.
Una extensión común, sin embargo, es la definición de factorial de cero. De acuerdo con la convención matemática de producto vacío, el valor de 0! debe definirse como 0!=1.
Es posible, sin embargo, dar un argumento intuitivo para justificar la elección, como sigue:
Para cada número entero positivo n mayor que 1,es posible determinar el valor del factorial anterior mediante el uso de la siguiente identidad:
,
válida para todo número mayor o igual que 1.
Así, si se conoce que 5! es 120, entonces 4! es 24 porque
4!=,
y por tanto 3! debe ser necesariamente 6 puesto que
3!=.
El mismo proceso justifica el valor de 2! = 2 y 1!=1 ya que
Si aplicamos la misma regla para el caso extremo en que n'=1tendríamos que 0! corresponde a
Aunque el argumento puede resultar convincente, es importante tener en cuenta que no es más que un argumento informal y que la razón real por la cual se toma la convención de 0! = 1 es por ser un caso especial de la convención de producto vacío usada en muchas otras ramas de las matemáticas.
[editar]Aplicaciones
Los factoriales se usan mucho en la rama dela matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n:
donde representa un coeficiente binomial:
Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Segeneralizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en la teoría de números.
Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:
La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.
El factorial de n es generalizado para cualquier númeroreal n por la función gamma de manera que
[editar]Productos similares
Primorial
El primorial (sucesión A002110 en OEIS) se define de forma similar al factorial, pero sólo se toma el producto de los números primos menores o iguales que n.
Doble factorial
Se define el doble factorial de n como:
Por ejemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 y 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. La sucesión de doblesfactoriales (sucesión A006882 en OEIS) para empieza así:
1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...
La definición anterior puede extenderse para definir el doble factorial de números negativos:
Y esta es la sucesión de dobles factoriales para :
El doble factorial de un número negativo par no está definido.1233
Algunas identidades de los dobles factoriales:
1.
2.
3.
4.
5....
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