Factorial

Factorial de un N´mero Entero Positivou
Carlos Torres
Edu
ma
te
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1.
Introducci´no
El estudio del factorial de un n´mero entero positivo (Z+ ) es de sumaimportanciau
en esta parte del ´lgebra, ya que este objeto matem´tico ayudar´ a produndizar temasaaa
1como el Binomio de Newton . Al respecto, se presenta un esbozo dela teor´ de factorialıa
de un n´mero entero positivo, junto con las propiedades que nos ayudar´n a enfrentarua
diferentes tipos de problemas.
2.
Definici´no
El factorial de un n´mero enteropositivo se define como el producto que se obtieneu
de multiplicar los n´meros enteros desde 1 hasta el n´mero n indicado en el factorial. Lauu
notaci´n de factorial que usaremos es la siguiente: n!.2 Alrespecto, la definici´n quedaoo
expresada en s´ımbolos as´ı:
n! = 1 × 2 × 3 × 4 × . . . × (n − 1) × n
Tambi´n:e
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × (n − 3) × . . . × 2 × 1
n
n! =
k
k=1
Donde n ∈ Z+Ejemplos:
1 Considerar
2 El
Z+ = {1, 2, 3, ...}
algunos textos es com´n utilizar otras notaciones como: n , nu
1

3 PROPIEDADES
1! = 1
3! = 1 × 2 × 3 = 6
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 2433
! = , ya que ∈ Z+/
22
√√
2! = , ya que 2 ∈ Z+/
Nota:
Edu
ma
te
3.
Propiedades
1. n! = n (n − 1)! ; n ≥ 2
La prueba es directa, para ellousamos la definici´n de factorial:o
n! = 1 × 2 × 3 × 4 × . . . × (n − 1) ×n
(n−1)!
Para el caso de factorial de cero (0!) se toma por convenci´n el valor de 1. Entonces,o
0! = 1
2. Si n! = m! ; ⇔ n =m∀n, m ∈ Z+ − {1}
Un caso especial de esta propiedad est´ relacionado con la siguiente igualdad:a
n! = 1! para lo cual siguiendo lo enunciado n = 1, pero tambi´n se cumple parae
n = 0.
de loque se desprende que: n! = n (n − 1)!
3. n (n!) = (n + 1)! − n!
La prueba es inmediata, ya que:
(n + 1)! − n! = (n + 1) n! − n! = n! (n + 1 − 1) = n (n!)
Nota:
En general, no es posible...