Factoriales generales. dos factoriales

DISEÑOS FACTORIALES. Hasta el momento se ha estudiado el análisis del efecto de un factor sobre la variable de respuesta, pero en muchas situaciones practicas es necesario investigar, en forma simultanea, los efectos que tienen varios factores sobre la respuesta. Una forma muy eficiente de lograr lo anterior es mediante el uso de un experimento factorial en el que todos los niveles de un factorse combinan con todos los niveles de cualquier otro para formar los tratamientos. Por ejemplo, en un experimento factorial de dos factores en el que uno tiene tres niveles y el otro dos, existirán 3 X 2 = 6 tratamientos. En otras palabras, la respuesta será observada bajo seis tratamientos diferentes. Los experimentos factoriales son aquellos que prueban varios niveles de dos o más factores. Unfactor es una clase de tratamiento y experimento factorial; todo factor proporciona varios tratamientos, por ejemplo, si la temperatura de horneado es un factor entonces el horneado se hará a varias temperaturas, si la variedad es un factor entonces habrá varias variedades, etc. Con los experimentos factorial no sólo es posible evaluar los efectos individuales de los factores sobre la respuesta, sinoque también es posible determinar el efecto causado por sus interacciones. El efecto de un factor sobre una respuesta es simplemente el cambio en ésta, causado por un cambio en el nivel del factor. Pero si el efecto de un factor sobre la respuesta es diferente para distintos niveles de otro factor, entonces se dice que los dos factores interactúan entre sí. Le presencia de interacción indica queel efecto de los factores sobre la respuesta es no lineal y que de esta forma no puede asumirse un modelo aditivo. DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES. Considérese una situación en el cuál es de interés estudiar el efecto de dos factores A y B sobre alguna respuesta. En cada uno de estos casos es importante no sólo determinar si los dos factores influyen sobre la respuesta, sino también si existe unainteracción significativa entre ellos. Para el diseño completamente aleatorizado, se considerará el caso de n repeticiones de las combinaciones de tratamiento determinado por a niveles del factor A y b niveles del factor B. Las observaciones pueden clasificarse por medio de un arreglo rectangular en el cual los renglones representan los niveles del factor A y las columnas los del factor B. Setienen ab celdas, y cada celda contiene n observaciones. Representando la k – ésima observación tomada en el i – ésimo nivel del factor A y el j – ésimo nivel del factor B por y ijk , las abn observaciones se muestran en la tabla siguiente:

1

1

y111 y112  y11n y 211 y 212 

2

y121  y122    y12 n  y 221 


a

y 21n  y a11 y a12  y a1n

y 222  y 2b 2    y 22 n  y2bn  y a 21 y a 22  y a 2n    y ab1  y ab 2    y abn

y. j . y . j.
El modelo estadístico lineal es:

y.1. y .1.

y.2.  y.b. y .2.  y .b.

y ijk
donde:

 i = 1, 2 ,3, , a.  =  + 2 i +  j + ( 2 ) ij + 0 ijk  j = 1, 2 ,3, , b. k = 1, 2 ,3, , n. 

 = la media general. 2 i = efecto del i − ésimo nivel del renglón A (τ ij = es el efecto de interacción entre 2 i y j 0 ijk = error aleatorio

j = efecto del − ésimo nivel del

Hipótesis a evaluar: a) Para el efecto de tratamientos de renglón es:

H 0 : 21 = 2 2 =  = 2 a = 0 H1 : 21 ≠ 2 2 ≠  ≠ 2 a ≠ 0

b) Para el efecto de tratamientos de columna es:

H 0 : 1 =  2 =  =  b = 0 H1 : 1 ≠  2 ≠  ≠  b ≠ 0

c) Para el efecto de interacción de ambos es:

 

Factor A

Factor B

TotalMedia

1

2

b

y i.. y1..

y i.. y 1..

y1b1 y1b 2  y1bn y 2b1

y 2..

y 2..

 y a ..

 y a..

y... y ...

2

H 0 : (22ij = 0 H 1 : al menos una (22ij ≠ 0 y i.. = ∑∑ y ijk
j =1 k =1 a n b n

y i.. = y . j. =

y i.. bn y. j .

y. j . = ∑∑ y ijk
i =1 k =1 n

y ij . = ∑ y ijk
k =1 a

y... = ∑∑∑ y ijk
i =1 j =1 k =1

b

n

an y y ij . = ... n y y...