Factorización Lu

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Factorización LU
En el álgebra lineal, la factorización o descomposición LU (del inglés Lower-Upper) es una forma de factorización deuna matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Debido a la inestabilidad de este método, por ejemplo si un elemento de la diagonal es cero, es necesario premultiplicar lamatriz por una matriz de permutación. Método llamado factorización  o  con pivote.
Esta descomposición se usa en el análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones (más eficientemente) oencontrar las matrices inversas.
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Definiciones
Sea A una matriz no singular (si lo fuera, entonces la descomposición podría no ser única)donde L y U son matrices inferiores y superiores triangulares.
Para matrices , esto es:

Por otro lado la descomposición PLU tiene esta forma:

Con  matrices triangulares inferiores,  matrices depermutacion y  una matriz triangular superior.
Para determinar :

y cada  está dado por:
 = 
Esto se debe a que  es igual a , pero con los elementos de la subdiagonal permutados.
Otra forma dever éste tipo de factorización es:  Recordando que las matrices de permutación matriz permutación son invertibles y su inversa es su traspuesta

-------------------------------------------------Unicidad
Las matrices L y U son únicas, si la matriz no es singular. En caso contrario pueden no ser únicas.
Demostración:
Dada la matriz A ∈ 

 y 
Recordemos que  son invertibles por tenerel determinante distinto de cero entonces:

Entonces  es una matriz triangular inferior, con unos en la diagonal y  es triangular superior, con unos en la diagonal (recordando que el productomatricial de triangulares superiores/inferiores es triangular superior/inferior). La única matriz que cumple estas dos propiedades es la identidad. Por lo tanto:
 y 
Con lo cual:
 y ...