Factorización

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FACTORIZACIÓN
Ejemplos • • •

Caso I: Factor Común Cómo Reconocer: Existe un factor común en todos los términos. Los números pueden factorizarse en este caso si existe máximo común divisor (MCD) entre ellos. Cómo Factorizar: Hallar el MCD, tomar las letras comunes con el menor exponente. Abrir paréntesis y dividir cada término entre el factor común(restando los exponentes).

ax+bx = x(a+b) ax3-bx2 = x2(ax-b) 2b5-b3 = b3(2b2-1) 24ax+18bx = 6x(4a+3b)
24 – 18 2⇐ 12 – 9 2 6– 9 2 MCD = 2 . 3 = 6 3 – 9 3⇐ 1– 3 3 1 2x(a+1)-3y(a+1) = (a+1)(2x-3y) a(m-2)-m+2 a(m-2)-(m-2) = (m-2)(a-1) x(a-b)+a-b x(a-b)+(a-b) = (a-b)(x+1) ax+bx-ay-by = (ax+bx)-(ay+by) = x(a+b) - y(a+b) = (a+b)(x-y) ax2-x+ax-1 = (ax2-x)+(ax-1) = x( ax-1) +(ax-1) = (ax-1)(x+1)a2+2ab+b2 = (a+b)2 x2-2xy+y2 = (x-y)2 4x2-12xy+9y2 = (2x-3y)2 prueba: 2(2x)(3y) =12xy

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Caso I Especial Cómo Reconocer: El factor común es un conjunto entre paréntesis. Cómo Factorizar: Tomar el paréntesis común y dividir cada término entre el común Caso II: Factor común por agrupación Cómo Reconocer: Son cuatro términos, a veces son seis u ocho términos Cómo Factorizar: Formar dos grupos yfactorizar cada grupo como el caso I y luego el resultado factorizar como el caso I especial. Caso III: Trinomio cuadrado perfecto Cómo Reconocer: Siempre son tres términos. El primero y el tercero siempre son positivos y tienen raíz cuadrada. Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero, signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar entre paréntesis y elevar al cuadrado. Caso III EspecialCómo Reconocer: Son tres términos con paréntesis. El primero y el tercero siempre son positivos y tienen raíz cuadrada. Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero, signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar entre corchetes y elevar al cuadrado. Caso IV: Diferencia de cuadrados Cómo Reconocer: Siempre son dos términos que tienen raíz cuadrada, siempre es una resta CómoFactorizar: Abrir dos pares de paréntesis: uno con menos (-) y el otro con más (+). Sacar raíz cuadrada del primero y del segundo. Repetir lo mismo en los dos paréntesis. Caso IV Especial Cómo Reconocer: Uno o los dos términos son conjuntos entre paréntesis y que tienen raíz cuadrada, el signo afuera de los parentesis es menos (-) Cómo Factorizar: Abrir dos pares de corchetes, uno con menos [-] y el otrocon más [+]. Sacar raíz cuadrada de los dos términos. Repetir lo mismo en los dos corchetes. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes.

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x2 x  − 5xy 3 + 25 y 6 =  − 5 y 3  4 2  
(a+1)2+2(a+1)(2a-3)+(2a-3)2 [(a+1)+(2a-3)]2 [ a+1 + 2 a-3 ]2 [3a-2]2 a2 – b2 = (a – b) (a + b)

2

 x prueba : 2 (5 y 3 ) = 5 xy 3 2

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4x2 – 9y2 = (2x+ 3y) (2x – 3y)

x 2 16  x 4  x 4  − =  −  +  25 y 6  5 y 3  5 y 3 
(a+b)2 – c2 = [(a+b)+c][(a+b)-c] = [a+b+c][a+b-c] 49(x –1)2 – 9(3 – x)2 [7(x-1) – 3(3 –x)] [7(x-1) + 3(3 –x)] [7x – 7 – 9 + 3x] [7x – 7 + 9 – 3x] [10x – 16] [4x + 2]

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Combinación Caso III y IV Cómo Reconocer: Son cuatro términos, tres de ellos tienen raíz cuadrada. A veces son seis términos, cuatro de loscuales tienen raíz cuadrada. Cómo Factorizar: Cuando son cuatro términos formar un trinomio cuadrado perfecto entre paréntesis y factorizar por el caso III, el resultado factorizar por el caso IV Especial Cuando son seis términos formar dos trinomios cuadrado perfecto y factorizar por el caso III, el resultado factorizar por el caso IV Especial • •

Ejemplos a2 +2ab + b2 – c2 = (a2 +2ab + b2) –c2 (a + b)2 – c2 [(a +b) –c] [(a +b) +c] [a + b – c] [a + b + c] a2 - x2 – 2xy – y2 = a2 – (x2 + 2xy + y2) = a2 – (x+y)2 = [a – (x+y)][a + (x+y)] = [a – x - y] [a + x + y] a2 +2ab + b2- x2 + 2xy – y2 (a2 +2ab + b2) - (x2 - 2xy + y2) (a + b)2 – (x – y)2 [(a + b) – (x – y)][ (a + b) + (x – y)] [ a + b – x + y ][ a + b + x – y ] x4 + x2y2 + y4 =(x2 + y2)2 – x2y2 + x2y2 +2x2y2 =[(x2 + y2) – xy] [(x2...