FACTORIZACIÓN

Productos notables y factorización

Página del Colegio de Matemáticas de la ENP-UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN
UNIDAD V
V.1 PRODUCTOS NOTABLES
Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen
al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuyaaplicación
simplifica la obtención del resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables.
Se llama producto notable al que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a término. A
continuación se describen los más importantes.

V.1.1 CUADRADO DE UN BINOMIO
El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado de un binomio.
El desarrollo del cuadradodel binomio a + b se puede obtener multiplicando término a término:

(a + b )2 = (a + b )(a + b ) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
“El cuadrado de un binomio a + b es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto de
los términos más el cuadrado del segundo término”.
Ahora, al elevar al cuadrado el binomio a − b , también multiplicando término a término, se obtiene:(a − b )2 = (a − b )(a − b ) = a 2 − ab − ba + b 2 = a 2 − 2ab + b 2
“El cuadrado de un binomio a − b es igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto
de los términos más el cuadrado del segundo término”.
En las fórmulas anteriores a y b pueden ser cualquier expresión algebraica y tener cualquier signo. Por
lo tanto, segunda la fórmula es un caso particular de la primera yaque:

(a − b )2 = [a + (− b )]2 = a 2 + 2a(− b ) + b 2 = a 2 − 2ab + b 2

Ejemplos.
1) (a + 4) = a 2 + 2(a )(4) + 4 2 = a 2 + 8a + 16
2

2) (2 x + 3 y ) = (2 x ) + 2 (2 x )(3 y ) + (3 y ) = 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2
2

2

2

3) (b − 5) = b 2 + 2(b )(− 5) + 5 2 = b 2 − 10b + 25
2

4) (6k − 8m ) = (6k ) + 2(6k )(− 8m ) + (− 8m ) = 36k − 96km + 64m
2

2

2

2

2

2

2

25  2 
4
5
25 2
2
 2  5   5 
5)  a + b  =  a  + 2 a  b  +  b  = a 2 + ab +
b
4  3 
9
3
16
 3  4   4 
3
6) 7 p 2 − 9q 3

(

) = (7 p )

2

2

2

2 2

( )(

) ( )

+ 2 7 p 2 − 9q 3 + 9q 3

2

= 49 p 4 − 126 p 2 q 3 + 81q 6

7) (− 2k + 5) = (− 2k ) + 2(− 2k )(5) + 5 = 4 k − 20k + 25
2

2

1

Productos notables yfactorización

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(

8) − 10α 4 − 7λ

) = (− 10α )
2

4 2

(

)

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

+ 2 − 10α 4 (− 7λ ) + (− 7λ ) = 100α 8 + 140α 4 λ + 49λ2
2

a

b

a

a2

ab

b

ab

b2

Representación geométrica de (a + b ) :
2

Consiste en considerar el área de un cuadrado de lados a + b y
las regiones queestas medidas generan en el cuadrado. Los
segmentos a y b horizontales y verticales dividen al cuadrado en
cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado a y otro
menor de lado b , y dos rectángulos de largo a y ancho b . La
suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al
área total del cuadrado de lado a + b :

(a + b )2 = a 2 + 2ab + b 2
Representación geométrica de (a − b ):
2

a

Consiste en considerar el área de un cuadrado de lados a . Los
segmentos a − b y b horizontales y verticales dividen al cuadrado
en cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado a − b y otro
menor de lado b , y dos rectángulos de largo a − b y ancho b . La
suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al
área total del cuadrado de lado a 2 . Por lo tanto, elárea del
cuadrado de a − b es igual al área total menos el área de los
rectángulos menos el área del cuadrado menor, esto es:

a−b

a −b

b

(a − b )2

(a − b )b
a

b

(a − b )2 = a 2 − 2(a − b)b − b 2 = a 2 − 2ab + 2b 2 − b 2 = a 2 − 2ab + b 2

(a − b )b

b2

(a − b )2 = a 2 − 2ab + b 2

V.1.2 CUADRADO DE UN POLINOMIO
El producto de un trinomio por sí mismo recibe el...