Factorización

Fórmulas de Factorización y problemas de ecuaciones de primer grado
1) Factorización de un monomio.
Ej: 15ab = 3 * 5ab = 15a *b = 15*ab
21xy = 7*3xy = 7xy*3

2) Factor común Caso 1.
Ej: a²+2a = a (a+2) 14a -7a² = 7a (7-a)

3) Factor común Caso 2.
Ej: x (a+b) + y (a+b) 3*(x+y) – 9b (x+y)
(a+b)*(x+y) (x+y)*(3-9b)

4) Factor común por agrupación de TérminosEj: ax +bx + ay+by
Agrupamos: (ax+bx) + (ay+by)
F. C. Caso 1: x*(a+b) + y*(a+b)
F. C. Caso 2: (x+y)*(a+b)

5) Cuadrado de Binomio = (a±b)² = (a±b)*(a±b) = a² ± 2ab + b²
Ej: (2a+3b)² = (2a)² + 2*(2a)*(3b) + (3b)² (4a-b)² = (4a)² - 2*(4a)*(b) + (-b)²
4a² + 12ab + 9b² 16a² - 8ab + b²





6) Suma por su Diferencia =(a+b)*(a-b) = a² - b²
Ej: (12+b)*(12-b) (2x-y)*(2x+y) (5x-4y)*(5x+4y)
(12)² - (b)² (2x)² - (y)² (5x)² - (4y)²
144 – b² 4x² - y² 25x² - 16y²

7) Caso Especial Diferencia de cuadrados
Ej: (a+b)² - c²
Factorizar SxD: [(a+b)+c] * [(a+b)-c]
Quitamos paréntesis (): [a+b+c] * [a+b-c]

8) Trinomio de la forma x² + bx + c
Ej: x² + 7x + 12Abrimos paréntesis y buscamos 2 términos que satisfagan “x²”, el cual es “x*x”

x² + 7x + 12 = (x+…………)*(x+……….)

Ahora buscamos dos números que sumados me den 7 y multiplicado me den 12
Nota: Siempre el término que esté acompañado de “x” es un resultado de suma
(7x= 3x+4x) y el término que sólo es numérico es resultado de una multiplicación (12=3x4)

Números que sumados de 7 ymultiplicado den 12: 3 y 4.  3+4=7 3x4=12
Esos números son ubicados en la línea punteada, por la tanto queda.

x² + 7x + 12 = (x+…………)*(x+……….)
x² + 7x + 12 = (x+3)*(x+4)

La factorización es (x+3)*(x+4)









9) Trinomio de la forma ax² + bx + c

Ej: 6x² - x – 2

Primero que todo, multiplicamos todos los términos por el coeficiente numérico de nuestro término al cuadrado (6x²)6x² - x – 2 /*6
36x² +6(-1x) + (-12) Nota: Dejamos todo positivo como en la ecuación

Al igual que anteriormente, abrimos paréntesis y buscamos dos términos que satisfagan, en este caso, 36x², el cual es 6x*6x

(6x …….)* (6x ……….) Nota  El signo de los términos adyacentes a 6x dependerá
de lo que nos dé a continuación.

Vemos el coeficiente del 2° Término (-x= -1) y el 3°término del trinomio (Que es -12), entonces buscaremos al igual que en el método 8 (x²+bx+c) dos números que sumados nos den -1 y multiplicado -12.

-4 y 3  -4+3= -1  -4x3=-12 Por lo tanto, reemplazamos en la línea punteada.

(6x …….)* (6x ……….)
(6x-4) * (6x+3) Luego esto lo factorizamos

2(3x-2) * 3(2x+1) Al inicio de la ecuación, multiplicamos toda la ecuaciónpor 6. Por lo tanto, los números por los cuales factorizamos al multiplicarlos nos da 6 (2x3). Por ende son eliminados.

(3x-2) * (2x+1)  Al eliminar los números en rojo, nuestra verdadera ecuación es la de la izquierda












10) Suma de cubos
(a³ + b³) = (a+b)*( a² - 2ab + b² )

Ej: (8a³+27b³) = ( 2a + 3b ) * (4a² -12ab+ 9b²)( 2a + 3b ) * ( 2a-3b )²


11) Resta de cubos
(a³ - b³) = (a-b)*( a² + 2ab + b² )

Ej: (x³ - 8y³) = ( x-2y )*(x² + 4xy + 4y²)
( x-2y )*(x+2y)²




Resolución de Problemas de ecuaciones de primer grado

La forma de poder realizar de buena manera es lograr plantear las incógnitas de una ecuación acorde lo que pidan en el problema. La mejor manera de entenderla forma de resolver un problema es el planteamiento de uno como lo haremos a continuación.



Ej1: La edad de A es 6 veces la edad de B, y en 15 años más, la edad de A será el triple de la de B. Hallar ambas edades.

A=6b y B=b  Primero que todo, escribiremos los datos
algebraicamente en forma de ecuación y pondremos
6b+15=3*(15+b)  toda la ecuación en el...