Factorizaci N

CAP´ITULO

1

Factorizaci´on

En este cap´ıtulo repasaremos los casos esenciales de factorizaci´on.

1.1 Factores
Sean a, b n´
umeros reales. Si ab = c, se dice que a y b son factores de c. Por ejemplo, 4 y 7
son factores de 28 ya que 4 · 7 = 28.
Ya sabemos como factorizar un n´
umero compuesto en factores primos; 120 se factoriza como
2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 23 · 3 · 5 y 1155 como 3 · 5 · 7 · 11.Con las expresiones algebraicas sucede algo similar; como (x + 2) (x − 2) = x2 − 4 se dice
que x + 2 y x − 2 son factores de x2 − 4.
El proceso de encontrar factores de una expresi´on algebraica se llama factorizaci´on.

1.2 Casos de factorizaci´
on
1.2.1 Factor Com´
un Monomio
En este caso se usa la propiedad distributiva de la multiplicaci´on con respecto a la suma.
Ejemplo 1.1 (En binomios). .Factorizar:
1. 10b − 30ab2 = 2 · 5 · b − 2 · 3 · 5 · a · b · b = 2 · 5 · b (1 − 3ab) = 10b(1 − 3ab)
2. x4 + 7x3 = x · x · x · x + 7 · x · x · x = x · x · x(x + 7) = x3 (x + 7)
3. 3m2 n − 5mn2 = 3 · m · m · n − 5 · m · n · n = mn(3m − 5n)

1

2

1 Factorizaci´
on

24a2 xy 2 − 36x2 y 4 = 2 · 2 · 2 · 3 · a · a · x · y · y − 2 · 2 · 3 · 3 · x · x · y · y · y · y

4.

= 2 · 2 · 3 · x · y · y(2 · a · a −3 · x · y · y)
= 12x2 y(2a2 − 3xy 2 ).
5. x3n + xn+3 = xn · xn · xn + xn · x3 = xn (xn · xn + x3 ) = xn (x2n + x3 )
Ejercicio 1.
Factorizar
1.
2.
3.
4.
5.

10xy − 6yz
6x2 + 42xy
−15a3 + 30
x2 y + x2 z
10a3 d2 − 20a2 d3

6.
7.
8.
9.
10.

7m − 14
12m + 28n
3 + 15m
2a2 x − 6ax3
abc + abc2

11.
12.
13.
14.
15.

5x − 10y
15a − 21b
x3 − 4x4
4m2 − 6mn2
−21m2 − 84

Ejemplo 1.2 (En Trinomios).Factorizar:
1.
2.
3.
4.

ax + bx + cx = (a + b + c)x = x(a + b + c)
4x2 − 8x + 2 = 4 · x · x − 2 · 2 · 2 · x + 2 · 1 = 2(2x2 + 4x + 1)
72xy 2 − 180x2 y 3 + 120x3 y 4 = 12xy 2 (6 − 15xy + 10x2 y 3 )
14x2 y 2 − 28x3 + 56x4 = 14x2 (y 2 − 2x + 4x2 )
Ejercicio 2.
Factorizar:
1.
2.
3.
4.
5.

a + a2 + a3
9x2 − 6x + 3
a2 + a + a3
15a3 + 20a2 − 5a
a3 − a2 x + ax2

6.
7.
8.
9.
10.

2m2 x + 2mx2 − 3mx
34mx2 + 15m2 y −68my 2
a2 b2 c2 − a2 c2 x2 + a2 c2 y 2
12a2 + 6a + 2
24x3 − 30x2 + 18x

Ejemplo 1.3 (En Polinomios). Factorizar:
1. x − x2 + x3 − x4 = x(1 − x + x2 − x3 )
2. 100a2 b3 c − 150ab2 c2 + 50ab3 c3 − 200abc2 = 50abc(2ab2 − 3bc + b2 c2 − 4c)
3. x5 − x4 + x3 − x2 + x = x(x4 − x3 + x2 − x + 1)
Ejercicio 3.
Factorizar:
1. a2 − 2a3 + 3a4 − 4a5 + 6a6
2. x15 − x12 + 2x9 − 3x6

3. 9m2 − 12mb + 15m3 b2 − 24mb24. 3a2 b + 6ab − 5a3 b2 + 8a2 bx

5. 12m2 n + 24m3 n2 − 36m4 n3 + 48m5 n4 − 60m2 n2
Observaci´
on 1.4. Si el factor com´
un es un polinomio se procede como se muestra en los
siguientes ejemplos

1.2 Casos de factorizaci´
on

3

Ejemplo 1.5. Factorizar:
1. a(x + 1) + b(x + 1) = (x + 1)(a + b)
2. m(n + 2) + n + 2 = m(n + 2) + 1 · (n + 2) = (n + 2)(m + 1)
3. x(a + 1) − a − 1 = x(a + 1) − (a + 1) = (a+ 1)(x − 1)

Ejercicio 4.
Factorizar:
1. m(n + 1) + n(n + 1)

4. (x + y)(u + 1) + (x − y)(u + 1)

2. 3(a + b) + u(a + b) + (a + b)

5. (a + b)(a − b) − (a − b)(a − b)

3. p(u + v) − u − v

6. (u + v)(m − n) − (u + v)p

7. (3x + 2)(x + y − 2) − (3x + 2) − (x + y − 1)(3x + 2)
8. (3x + 2y)(x − y + 1) − (3x + 2y)(x + y) + (x + y + 1)(3x + 2y)
9. a(b + c + d) − b − c − d + b(b + c + d)
10. p − q + 2 −3(p − q + 2) − q(p − q + 2)

Algunas veces es posible asociar t´erminos adecuados y combinar los casos ya estudiados para
factorizar ciertas expresiones algebraicas tal como se muestra en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1.6. Factorizar:
1.

a2 + ab + ax + bx = (a2 + ab) + (ax + bx)
= a(a + b) + x(a + b) = (a + b)(a + x)

2.

3x2 + 7x − 6xy − 14y = (3x2 + 7x) + (−6xy − 14y)
= x(3x + 7) − 2y(3x +7) = (3x + 7)(x − 2y)

3.

x2 − a2 + x − a2 x = (x2 + x) + (−a2 − a2 x)
= x(x + 1) − a2 (x + 1) = (x + 1)(x − a2 )

4.

15d2 − 21cd + 30de − 42ce = 3(5d2 − 7cd + 10de − 14ce)
=3

5d2 − 7cd + (10de − 14ce)

= 3 [d (5d − 7c) + 2e (5d − 7c)]
= 3 [(5d − 7c) (d + 2e)]
= 3 (5d − 7c) (d + 2e)

4

1 Factorizaci´
on

42 − 6a3 − 7b2 + a3 b2 = 42 − 6a3 + −7b2 + a3 b2

5.

= 6(7 − a3 ) + b2 (−7 + a3 )
=...