Factorizaci N

FACTORIZACIÓN
Prof. Roxana Martinez Monteza

Definición


Es la operación que tiene por finalidad
transformar una expresión algebraica
racional y entera en otra equivalente que
sea igual al producto de sus factores
primos racionales y enteros; factorizar
significa convertir una suma algebraica
en productos de factores.

Métodos para factorizar


Factor común.



Método de Identidades.

Método del Aspa.



Método de Divisores Binomios.

Factor Común

Factorización factor común monomio
1.

Se extrae el factor común de cualquier
clase, que viene a ser el primer factor.

2.

Se divide cada parte de la expresión
entre el factor común y el conjunto
viene a ser el segundo factor

Ejemplo 1:

m
mx  m
my  mz
m

m( x  y  z)

Observe que el factor m se
repite en TODOS los términos.Extraemos m como factor
común de la expresión.

Ejemplo 2:
Extraemos el MCD de:

6a b  9ab  3ab
2

2

6

9

3

2

3

1

3

Se extrae 3 como factor

3ab (

Como el factor “a” se
repite en TODOS los
términos podemos
extraerlo con el menor
exponente, esto es “ a1 ”

  )

6a 2 b
9ab 2
 3b
 2a
3ab
3ab

3ab
1
3ab

Se divide cada término por el factor común.

Como el factor “b” se
repite en TODOSlos
términos podemos
extraerlo con el menor
exponente, esto es “ b1 ”

Ejemplos
3x + 6
2. x³ + x² + x
3. ax² + a
4. 2x² + 2x + 2
5. 3x²y - 6xy² + 12xy
6. x7 + x3
7. a9 + 7a
1.

Factor común polinomio
Se extrae el factor común de cualquier
clase, que viene a ser el primer factor.
2. Se divide cada parte de la expresión
entre el factor común y el conjunto
viene a ser el segundo factor.
 Ejemplo1.

Ejemplo 1:

2m(b  5)  n(b  5)

b  5 2m  n

El binomio (b - 5) es
factor en ambos términos.

Extraemos el factor
común.

Ejemplos
a(x + 3) + b(x + 3)
2. (2a - 3)(y + 1) - y - 1
3. (a + 1)2(y + 1) - (a + 1)(y + 1)2
4. (a+1)7 (a2+1) – (a+1)5(a2+1)11
1.

Factorización por agrupación
1.

2.



Se trata de agrupar con la finalidad de
obtener en primer lugar un factor común
monomio y comoconsecuencia un factor
común polinomio.
Se divide cada parte de la expresión entre el
factor común y el conjunto viene a ser el
segundo factor.
Ejemplo
 Factorizar ax + bx + aw + bw
 Factorizar 2x2 - 4xy + 4x - 8y
 Factorizar 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n

Método de Identidades

Trinomio de cuadrado perfecto
a2 +2ab + b2 = (a + b)2 ; a2 -2ab + b2 = (a - b)2
Regla para conocer si un trinomio escuadrado
perfecto.
1. Un trinomio ordenado con relación a una letra
2. Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer
término son cuadrados perfectos
3. El segundo término es el doble producto de sus
raíces cuadradas
Procedimiento para factorizar
1. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término
2. Se forma un producto de dos factores binomios con
la suma de estas raíces; entonces (a + b)(a+ b).
3. Este producto es la expresión factorizada (a + b)2.



Ejemplo 1:

4 x  20 x  25
2

25  5

4x2  2x
2

(

Extraemos la raíz del primer y
ultimo término.



 20 x



)

Probamos que sea un
cuadrado perfecto

2
Expresamos la solución

Ejemplo 2:

9 x  24 xy  16 y
2

16 y  4 y

9 x  3x

(

Extraemos la raíz del primer y
ultimo término.

2

2

2

2



 24 xy



)

Probamosque sea un
cuadrado perfecto

2
Expresamos la solución

Diferencia de cuadrados
Se extrae la raíz cuadrada de los
cuadrados perfectos.
2. Se forma un producto de la suma de
las raíces multiplicada por la diferencia
de ellas.
 Ejemplos
1.




Factorizar 25x2 – 1
Factorizar 16x2 - 36y4

Ejemplo 3:

9 x  16 y
2

16 y  4 y

9 x  3x



Extraemos la raíz del primer y
ultimo término.

2

2

2







Expresamos la solución

Caso especial
Se extrae la raíz cuadrada de los
cuadrados perfectos.
2. Se forma un producto de la suma
de las raíces multiplicada por la
diferencia de ellas.
 Ejemplo
1.



Factorizar (w + t)2 - z2

Ejemplo 1:

2 x y  8xy  8 y
2

x

2

 4x  4

4 2

x2  x

(





)

2

Primero extraemos el factor
común

Extraemos la raíz del primer y
ultimo...