Factorizaciom
Páginas: 7 (1506 palabras)
Publicado: 9 de febrero de 2012
factorizacion:
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factorizacomo binomio conjugados (a - b)(a + b).
La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.
Factorizar un polinomio
Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios
Diferencia de cuadrados
Suma o diferencia de cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales
Trinomios
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios
Factor común
Caso I - Factor común
Sacar el factorcomún es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto,será sumamente sencillo resolver los factores comunes.
Factor común monomio
Factor común por agrupación de términos
ab + ac + ad = a ( b + c + d) \,
ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \, y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de lasvariables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
un ejemplo:
5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
(5x^2 + 3x +7) \,
La respuestaes:
(5x^2+3x+7)(x-y) \,
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
5a^2(3a+b) +3a +b \,
Se puede utilizar como:
5a^2(3a+b) + 1(3a+b) \,
Entonces la respuesta es:
(3a+b) (5a^2+1) \,
Caso II - Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos característicaslas que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:
2y + 2j +3xy + 3xj\,
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
= (2y+2j)+(3xy+3xj)\,
Aplicamos el caso I (Factor común)
= 2(y+j)+3x(y+j)\,
= (2+3x)(y+j)\,
Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cualesdos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo queacompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\,
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\,
Ejemplo 1:
(5x-3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2\,
Ejemplo 2:
(3x+2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2\,
Ejemplo 3:
(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\,
Ejemplo 4:
4x^2+25y^2-20xy\,
Organizando los términos tenemos
4x^2 - 20xy + 25y^2\,...
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factorizacomo binomio conjugados (a - b)(a + b).
La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.
Factorizar un polinomio
Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios
Diferencia de cuadrados
Suma o diferencia de cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales
Trinomios
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios
Factor común
Caso I - Factor común
Sacar el factorcomún es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto,será sumamente sencillo resolver los factores comunes.
Factor común monomio
Factor común por agrupación de términos
ab + ac + ad = a ( b + c + d) \,
ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \, y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de lasvariables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
un ejemplo:
5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
(5x^2 + 3x +7) \,
La respuestaes:
(5x^2+3x+7)(x-y) \,
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
5a^2(3a+b) +3a +b \,
Se puede utilizar como:
5a^2(3a+b) + 1(3a+b) \,
Entonces la respuesta es:
(3a+b) (5a^2+1) \,
Caso II - Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos característicaslas que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:
2y + 2j +3xy + 3xj\,
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
= (2y+2j)+(3xy+3xj)\,
Aplicamos el caso I (Factor común)
= 2(y+j)+3x(y+j)\,
= (2+3x)(y+j)\,
Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cualesdos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo queacompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\,
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\,
Ejemplo 1:
(5x-3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2\,
Ejemplo 2:
(3x+2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2\,
Ejemplo 3:
(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\,
Ejemplo 4:
4x^2+25y^2-20xy\,
Organizando los términos tenemos
4x^2 - 20xy + 25y^2\,...
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