Factorizacion De Matrices

CAPÍTULO 6

Factorización de matrices

En este capítulo estudiaremos algunas de las técnicas más utilizadas para factorizar matrices, es decir, técnicas que nos permiten escribir una matriz como
producto de dos o tres matrices con una estructura especial. La factorización de
matrices es importante por ejemplo cuando se quiere resolver sistemas de ecuaciones con un número muy grande tanto devariables como de ecuaciones, pero
también cuando se quieren resolver sistemas simultáneos de ecuaciones. En la
sección 6.1 trataremos la descomposición LU , en la sección 6.2 nos ocuparemos
de la descomposición QR, en la sección 6.3 trataremos la descomposición de
Cholesky y en la sección 6.4 trataremos la descomposición en valores singulares.

6.1.

Descomposición LU

En esta secciónestudiaremos, quizás la factorización de matrices más sencilla
pero igualmente muy útil. Nos referimos a la factorización o descomposición LU ,
la cual está directamente relacionada con las operaciones elementales aplicadas a
una matriz, para llevarla a una forma triangular inferior. Como una motivación,
supongamos que se conoce cómo factorizar una matriz A, m × n en la forma
(6.1)

A = LUdonde L es una matriz triangular inferior (del inglés lower) m × m y U es una
matriz escalonada m × n (del inglés upper). Entonces el sistema
(6.2)

Ax = b

puede resolverse de la siguiente forma: Usando (6.1), el sistema (6.2) se puede
escribir en la forma
(6.3)

L(U x) = b.

En este punto introducimos una nueva variable (por sustitución) y = U x, obteniendo así el nuevo sistema(6.4)

Ly = b .
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6.1. Descomposición LU

Factorización de matrices

Resolvemos entonces dicho sistema para la variable y, mediante sustitución
hacia adelante. Como paso final, usamos sustitución hacia atrás para resolver el
sistema
(6.5)

U x = y.

Es de anotar, que los sistemas (6.4) y (6.5) son relativamente fáciles de resolver
dado que se trata de matrices de coeficientestriangulares inferiores y superiores
respectivamente. La factorización o descomposición LU es particularmente útil
cuando se requiere resolver de manera simultánea varios sistemas de ecuaciones
que difieren únicamente en la parte no homogénea.
El siguiente resultado nos da condiciones suficientes para la existencia de una tal
factorización LU para una matriz cuadrada A. Posteriormente loextenderemos
a matrices rectangulares.
6.1. Teorema (Factorización LU ). Sea A una matriz cuadrada n × n. Supongamos que A se puede reducir por filas a una matriz triangular superior, U
aplicando únicamente operaciones elementales de eliminación (operaciones del
tipo αFi + Fj con i < j ). Entonces existe una matriz triangular inferior L que
es invertible y posee unos en su diagonal principal, tal queA = LU.
Si A es invertible, entonces esta descomposición es única.
Demostración. Por hipótesis, existen matrices elementales E1 , E2 , . . . ,
Ek del tipo (αFi + Fj , i > j ) y una matriz U (triangular superior) tales que
De aquí obtenemos A =

Ek Ek−1 · · · E2 E1 A = U.

−
−
E1 1 E2 1

−
· · · Ek 1 U.

Ahora bien, por construcción, cada matriz elemental E1 , E2 , . . . , Ek estriangular inferior y tiene unos en su diagonal principal, por consiguiente sus inversas
−
−
−
−
−
−
E1 1 , E2 1 , · · · , Ek 1 y la matriz L = E1 1 E2 1 · · · Ek 1 también tienen las mismas características (ver ejercicio 5 de la sección 6.1). Lo que implica que hemos
obtenido la factorización LU buscada para la matriz A, es decir:
A = LU,
Consideremos ahora una matriz invertible A ydemostremos la unicidad de dicha
factorización. Supongamos que tenemos dos factorizaciones LU para A de la
forma
A = L 1 U1 = L 2 U2 ,
con U1 , U2 matrices triangulares superiores y L1 , L2 matrices triangulares inferiores con unos en su diagonal principal. Como A es invertible las matrices
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6.1. Descomposición LU

Factorización de matrices

U1 , U2 también lo son, más aún sus inversas...