factorizacion de polinomios

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Hemos visto el problema de encontrar el producto, dados los factores. La factorización es
encontrar los factores, dado el producto.
Se llaman factores de una expresión algebraica aquellos que multiplicados entre sí dan
como resultado la primera expresión.
Ejemplo: sí; (x 2)(x 3) x 5x 6
2
+ + = + +
Tenemos que, x + 2 y (x + 3) son factores dex 5x 6
2
+ + ,así pues, factorizar una expresión
algebraica es convertirla en el producto indicado.
Existen diversos procedimientos para descomponer en factores un producto, los
mencionaremos, sin perjuicio de que en algunos casos podamos combinar dos o más de estos
procedimientos.
1. FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN.
Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que sele saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de
un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del
polinomio entre el factor común.
Ejemplos:
Factorizar los siguientes polinomios:
a) a 2a a(a 2) 2
+ = +
b) 10b 30ab 10b(1 3ab) 2
+ = +
c) 10a 5a 15a 5a(2a 1 3a )
2 3 2
+ + = + +
d) 5a b x 15a bx 35a b xy 5a bx(ab 3a x 7bx y )
3 2 4 2 2 2 4 5 2 2 3 5
+ - = + -
e) 12a b 30a b 18ab 42a b 6ab(2ab 5a b 3b 7a )
2 3 3 2 4 4 2 2 3 3
- + - = - + -
f) 15a x 30a x 105a x 75a x 15a x (1 2x 7x 5x )
2 2 2 3 2 4 2 5 2 2 2 3
- + - = - + -
g) 44ax 22a bx 66a x 22ax ( 2 abx 3a x )
n 2 n 1 3 n 2 n 2 2
- + - = - + -
+ +
h) x y x y x y x y(x y x y y )
2. FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES.
Como sunombre lo indica consiste en aplicar los productos notables ya conocidos.
a). Factorización de una diferencia de cuadros.
Se sabe que: a b (a b)(a b) 2 2
- = + - ; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al
producto de dos binomios conjugados.
Ejemplos:
1) 9x 4y (3x 2y )(3x 2y )
2 4 2 2
- = - = + -
2 2 2
(3x) (2y )
2) 25x 16a b 5x 4ab)(5x 4ab) 2 2 2
- = (5x) - (4ab) = ( + -2 2
3)
(x 4)(x 2)(x 2)
x 16
2
4
= + + -
- = (x ) - (4) = (x + 4)(x - 4) = (x + 4)[(x) - (2) ] =
2 2 2 2 2 2 2 2
4) ÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
- = - = + -
3
y
4
x
3
y
4
x
9
y
16
x
2 2 2 2
3
y
4
x
b). Factorización de un cuadrado perfecto:
Del desarrollo del binomio al cuadrado se tiene:
2 2
(a +b) = a + 2ab +b
2
ytambién 2 2 2
(a -b) = a - 2ab +b
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, así tenemos
que 2
4a es cuadrado perfecto porqué es el cuadrado de 2a .
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal,
con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al primero y tercer termino
del trinomio separándose estas raícespor medio del signo del segundo termino y elevando
este binomio al cuadrado.
Ejemplos:
1) m 2m 1 (m 1) (m 1)(m 1) 2 2
+ + = + = + +
2) 4x 25y 20xy 2 2
+ - . Ordenando y factorizando, se tiene:
4x 20xy 25y (2x 5y) (2x 5y)(2x 5y) 2 2 2
- + = - = - -
3) 1 16ax 64a x (1 8ax ) (1 8ax )(1 8ax )
2 2 4 2 2 2 2
- + = - = - -
4) 9x 12xy 4y (3x 2y) (3x 2y)(3x 2y
5) 4x 4xy y (2x y) (2x y)(2x y)2 2 2
+ + = + = + +
6) ÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
+ + = + = + +
2
1
x
2
1
x
2
1
x
4
1
x x
2
2
7) ÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
- + = - = - - 3b
4
a
3b
4
a
3b
4
a
ab 9b
2
3
16
a
2
2
2
8) ÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
- + = - = - -
3
b
2
1
3
b
2
1
3
b
2
1
9
b
3
b
4
1
2 2c). Factorización de una suma o diferencia de cubos.
Se sabe que: a b (a b)(a ab b )
3 3 2 2
+ = + - + y a b (a b)(a ab b )
3 3 2 2
- = - + +
Ejemplos:
1). Factorizar: 3 3
8x + 216y . Llevándolo al tipo de suma de cubos tenemos:
8x 216y (2x 6y)(4x 12xy 36y )
3 3 2 2
+ = + = + - +
3 3
(2x) (6y)
2). Factorizar: 4 4
81x y -192xy . Llevándolo al tipo de diferencia de cubos tenemos:...