Factorizacion De Polinomios

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

Curso 2012/13

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I
Factorización de Polinomios

Recuerda: Un polinomio, P (x), es una expresión de la forma
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0
en la que a0 , a1 , ..., an son números reales conocidos y la letra x es la variable o indeterminada (sus
exponentes tienen que ser númerosnaturales).
Si se sustituye la variable x por un número a y se efectúan las operaciones, el resultado que se obtiene,
P (a), se denomina valor numérico de P (x) para x = a.

Factorizar (o descomponer en factores) un polinomio consiste en sustituirlo por un producto
indicado de otros de menor grado tales que si se multiplicasen el resultado sería dicho polinomio. El método
más adecuado parafactorizar un polinomio P (x) depende de cómo sea éste, pero los métodos siempre se
basan en la misma idea: ¿qué multiplicación tiene como resultado el polinomio P (x)?
Los pasos que hay que seguir para factorizar un polinomio son (es conveniente que se siga este
orden) los siguientes:

1.- Siempre que se pueda, hay que sacar factor común:
a · b ± a · c ± a · d ± . . . = a · (b ± c ± d ± . . .)Un polinomio es una suma de monomios y en cada monomio únicamente hay multiplicaciones (las
potencias de exponente natural representan un producto de factores iguales) y si todos los monomios
tuviesen algún factor en común, dicho factor multiplicaría al polinomio resultante de quitárselo a cada
monomio.

Ejemplo 1 :

4x2 − 6x = 2x(2x − 3)

Ejemplo 2 :

15x3 + 6x − 9 = 3(5x3 + 2x − 3)2.- Si se trata de una diferencia de cuadrados se descompone en suma por diferencia de la siguiente
forma:
a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

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Ejemplo 1 :

25x2 − 16 = (5x + 4) · (5x − 4)

Ejemplo 2 :

9x4 − 49 = (3x2 + 7) · (3x2 − 7)

3.- Puede ocurrir que el polinomio dado sea el cuadrado deuna suma o el cuadrado de una diferencia:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2

Ejemplo 1 :

9x2 + 12x + 4 = (3x + 2)2

Ejemplo 2 :

25x4 − 10x2 + 1 = (5x2 − 1)2

4.- Cualquier polinomio, P (x) puede ser descompuesto en factores fácilmente si conocemos todas sus
raíces.

Recuerda: Se llaman raíces, o ceros de un polinomio P (x) a los valores de x para los que P (x) = 0,es decir, si el número a es una raíz de P (x) significa que P (a) = 0. Un polinomio de grado n tiene,
como máximo, n raíces.

Sea Pn (x) un polinomio de grado n y x1 , x2 , ..., xn , sus n raíces. Entonces, se puede escribir:
Pn (x) = A(x − x1 ) · (x − x2 ) · . . . · (x − xn )
siendo A el coeficiente de xn .

Recuerda: Si un producto vale 0 es porque alguno de sus factores es 0.

Enconcreto, si el polinomio es de segundo grado:
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
siendo x1 y x2 las raíces de ax2 + bx + c, es decir, las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0.
Si la ecuación ax2 + bx + c = 0 no tiene solución real (es decir si b2 − 4ac < 0), el polinomio ax2 + bx + c
no tiene raíces reales y, por tanto, no se puede descomponer en producto de polinomios de primer
grado. Sedice, en este caso, que el polinomio es irreducible.

Ejemplo 1 :
Factorización del polinomio P (x) = 2x4 − 7x3 + x2 + 7x − 3 sabiendo que sus raíces
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son ; +1; −1 y 3.
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Se puede comprobar que, en efecto, P

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= 0, P (+1) = 0, P (−1) = 0 y P (3) = 0. Como el coeficiente

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de x es2, se tiene:
P ( x) = 2 x4 − 7 x3 + x2 + 7 x − 3 = 2 x −

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(x − 1)(x + 1)(x − 3) = (2x − 1)(x − 1)(x + 1)(x − 3)

Ejemplo 2 :
Factorización del polinomio Q(x) = 10x4 − 3x3 − 41x2 + 12x + 4 sabiendo que sus
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raíces son − ; ; +2; −2.
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Se puede comprobar que, efectivamente, estos cuatro valores son raíces de Q(x). Por tanto, la factorización del mismo es:
Q(x) = 10x4 − 3x3 −...