Factorizacion De Polinomios

ExMa-MA0125. Factorización de polinomios

W. Poveda 1

Factorización de polinomios

Objetivos
1. Factorizar completamente polinomios mediante los métodos de factor
común, diferencia de cuadrados, diferencia de cubos, suma de cubos,
inspección, agrupación y división sintética.
Temas
1. Ceros de un polinomio.
2. Factorización de polinomios. Métodos de factorización: factor común,
diferencia decuadrados, diferencia de cubos, suma de cubos, inspección,
agrupación.
3. Teorema del factor y del residuo.

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W. Poveda 2

La factorización de un polinomio consiste en expresarlo como un producto de
monomios o polinomios, llamados factores el polinomio original.
Con el propósito de que pueda estudiar y comprender la factorización de polinomios, a continuaciónle ofrecemos diversos ejemplos. Le recomendamos que
usted no asuma que ya lo sabe: lea, comprenda y efectúe por sí mismo cada
ejemplo cuando termine de comrpender esta sección.
Ejemplo 1 ¿Cuál es la factorización completa de 16ax2
Solución
16ax2 2ax5 + 8ax3
=

2a(x5

4x3

=

2a [(x5

=

2a [x3 (x2

=

2a(x2

=

2a(x + 2)(x

64a

8x2 + 32)

4x3 ) + ( 8x2 + 32)]
4)

4)(x3

8(x2

4)]

8)
2)2 (x2 + 2x+ 4)

Ejemplo 2 Factorice completamente x8
Solución
x8 1 = (x4 + 1)(x4

1

1) = (x4 + 1)(x2 + 1)(x2

= (x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x

1)

1)

Ejemplo 3 Factorice completamente x2 + 12xy + 32y 2
Solución
x2 + 12xy + 32y 2 = (x + 4y) (x + 8y)

2ax5 + 8ax3

64a?

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Ejemplo 4 Factorice completamente 2x2 + 24xy + 64y 2
Solución
2x2 + 24xy + 64y 2 = 2(x + 4y) (x + 8y)

x2 + 12xy

Ejemplo 5 Factorice completamente
Solución
x2 + 12xy

32y 2 =

(x

8y) (x

32y 2

4y)

Ejemplo 6 Factorice completamente 25x2

(3x

1)2

Solución
25x2

(3x

1)2 = (5x + 3x

1)(5x

(3x

1)) = (8x

Ejemplo 7 Factorice completamente 2x3
Solución
2x3 24x2 + 40x = 2x (x

2) (x

1)(2x + 1)

24x2 + 40x

10)

Ejemplo 8 Factorice completamente (x + 1)2 + 5(x + 1) + 6
Solución(x + 1)2 + 5(x + 1) + 6 = (x + 4) (x + 3)
Ejemplo 9 Factorice completamente 6x4

16x3 + 4x2

Solución
6x4

16x3 + 4x2 = 2x2 ( 8x + 3x2 + 2)

Ejemplo 10 Factorice completamente b2 m2

4(b + m)2

Solución
b2 m2 4(b + m)2 = (bm + 2(b + m))(bm
= (bm + 2b + 2m)(bm 2b 2m)

2(b + m))

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Ejemplo 11 Factorice completamente 25

W. Poveda 4
x2 + 4xy

4y 2

Solución
2525

x2 + 4xy
(x 2y)2

= (5 + x

4y 2 = 25

2y)(5

(x2

4xy + 4y 2 )

x + 2y)

Ejemplo 12 Factorice completamente m2

n2

2m + 2n

Solución
m2

n2

2m + 2n = (m + n)(m

n)

2(m

Ejemplo 13 Factorice completamente x4

n) = (m

n)(m + n

27xy 3

Solución
x4

27xy 3 = x(x3

27y 3 ) = x (x

3y) (3xy + x2 + 9y 2 )

Ejemplo 14 Factorice completamente 4x2

y 2 + 2x(2x + y)

Solución
4x2 y 2 + 2x(2x + y) =(2x + y)(2x
= (2x + y)(2x y + 2x)
= (2x + y)(4x

y) + 2x(2x + y)

y)

Ejemplo 15 Factorice completamente (x + y)2
Solución
(x + y)2 x2 + y 2 = (x + y)2 + (y
= (x + y)(x + y + y x)
= (x + y)(2y)

x)(y + x)

x2 + y 2

2)

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Ejemplo 16 Factorice completamente (4x

W. Poveda 5
5y)2

2x2 + 5y 2

Solución
(4x 5y)2 16x2 + 25y 2 = (4x 5y)2
= (4x 5y)2 (4x 5y)(4x +5y)
= (4x
=

5y)(4x

10x(4x

5y

4x

(16x2

25y 2 )

5y)

5y)

Ejemplo 17 Factorice completamente bmp

b2 m

b2 p + b3

Solución
bmp b2 m b2 p + b3 = (bmp
= bm(p b) b2 (p b)
= (bm

b2 )(p

= b(m

b)(p

b2 m)

(b2 p

b3 )

b)
b)

Ejemplo 18 Factorice completamente 2x(x

2y)

Solución: La respuesta es (a), pues
2x(x
= (x

2y) x + 2y = 2x(x
2y)(2x 1)

2y)

(x

2y)

1
2

Ejemplo 19 Factoricecompletamente x + 2x + 1
Solución
Sea u = x

1
2

1
p
2
x + 2x 2 + 1 = u2 + 2u + 1 = (u + 1)2 = ( x + 1)

x + 2y

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Ejemplo 20 Factorice completamente y 2m

W. Poveda 6
100

Solución
100 = (y m + 10)(y m

y 2m

10)

Ejemplo 21 Sea p; q; m; n 2 R, si pq = m y p + q = n
¿Cuál es la factorización de x2 nx + m ?
Solución
Sea f (x) = x2

nx + m, f (x) es factorizable si...