Factorizacion De Productos Notables

Factorización y productos notables
Por otro lado, algunos productos sencillos que tienen una estructura determinada y que pueden ser evaluados de forma directa se denominan Productos notables.
En general los casos de factorización corresponden a los casos de productos notables.
Antes de mostrar ejercicios de aplicación de factorización y productos notables, es necesario recordar la forma dehallar el máximo común divisor (mcd) de un conjunto de números dados.
Ejemplo: Determinar el máximo común divisor (mcd) de los números 56, 42 y 28.
El máximo común divisor de un conjunto de números dados corresponde al mayor número natural que los divide simultáneamente, con residuo cero.
Para hallar el mcd de un conjunto determinado de números, estos se dividen simultáneamente por losdiferentes números primos (tomados en orden ascendente, y desechando los números primos por los cuales no se pueda hacer la división con residuo cero de todos los números de la fila) según el arreglo mostrado a continuación.
El proceso termina, cuando los números que aparecen en la fila inmediatamente inferior a la última división simultánea, no pueden dividirse simultáneamente por algún númeroprimo.
El mcd buscado es el producto de los números primos que aparecen a la derecha:
56 | 42 | 28 | ÷ | 2 |
28 | 21 | 14 | ÷ | 7 |
4 | 3 | 2 |   |   |
  |   |   |   |   |
Los números originales (56, 42, 28) se escriben desde la izquierda hacia la derecha.
A la derecha de ellos se escribe el 2 (primer número primo de la lista) y se divide cada uno de estos números por 2, escribiendo elresultado obtenido en la misma columna del número original.
La segunda fila muestra estos resultados.
Como los números 28, 21 y 14 no pueden dividirse simultáneamentepor 3, este número primo se desecha.
De forma similar se desecha el 5.
El siguiente número primo en la lista es 7.
En este caso se puede hacer la división simultáneamente obteniéndose los números 4, 3 y 2.
Esta última filanopuede dividirse simultáneamente ni por 2 ni por 3.
Como el siguiente número primo (5) es mayor que 4, el proceso termina.
Por lo tanto, el mcd de los números 56, 42 y 28 es el producto de los números primos de la derecha: 2 • 7 = 14
Lo anterior se expresa como: mcd (56, 42, 28) = 14  (el máximo común divisor de los números 56, 42 y 28 es igual a 14)
Ejemplo: Factorizar  9x + 6y - 12z
Este esun ejemplo sencillo de la factorización por factor común.
Dada una expresión algebraica se encuentra el máximo común divisor (mcd) de los coeficientes de los términos de la expresión algebraica.
Este mcd corresponde al coeficiente del factor común.
Para la parte literal se toman las variables comunes a todos los términos con el menor exponente que aparezca.
Para este ejercicio el mcd de9, 6 y 12 es 3; además como no hay variables comunes en los tres términos tenemos:
9x + 6y  12z = 3(3x + 2y  4z)
es decir 9x  + 6y  12z se ha expresado como el producto de los factores 3 y 3x + 2y  4z.
Ejemplo: Factorizar  9xy2 + 6y4 12 y3z
En este caso además del factor común 3 (mcd de 9, 6, 12) la variable y es común a los tres términos. La menor potencia común es  y2 por lo tanto lafactorización queda:
9xy2 + 6y4 12y3z = 3y2(3x + 2y2 4yz)
Los factores en este caso son 3x + 2y2 4yz  y  3y2. Para verificar, al realizar el producto indicado se obtiene la expresión original:
3y2(3x + 2y2 4yz) = (3y2 * 3x) + (3y2 * 2y2)  (3y2 * 4yz)
= 9xy2 + 6y4 12y3z

Productos notables
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Productos notables es elnombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una...