FACTORIZACION EXPRESION ALGEBRAICA

Expresiones algebraicas

Factorizaci´on

Ejercicios resueltos

1. Factorizar completamente la expresi´on x2 − x − 6
Soluci´
on:
Si se factoriza este trinomio en la siguiente forma
x2 − x − 6 = (x + a)(x + b)
que es el producto de dos binomios, entonces debe determinarse los valores reales
de a y b.
Se tiene que
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab.
Igualando los coeficientes correspondiente, setiene a + b = −1 y ab = −6. De
donde a = −3 y b = 2. Luego
x2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2)
Observaci´
on: Del ejercicio precedente se puede sacar la siguiente ense˜
nanza:
Para factorizar un polinomio de la forma x2 +
bx + c, se deben buscar dos n´
umeros α y β,
tales que
α+β =b

y

α · β = c.

En tal caso: x2 + bx + c = (x + α)(x + β)

2. Factorizar completamente la expresi´on 6x2 + x − 15
Soluci´
on:En este caso se procede de una manera parecida al ejemplo precedente. Partimos
buscando dos n´
umeros tal que su producto sea igual a −90 = 6 · (−15) y su suma
3

Expresiones algebraicas - Factorizaci´on

Ejercicios resueltos

4

sea igual a 1 (coeficiente de x). En este caso tales n´
umeros son: 10 y −9. Ahora
se procede de la siguiente manera:
6x2 + x − 15 =
=
=
=

6x2 + 10x − 9x − 15
(6x2 +10x) − (9x + 15)
2x(3x + 5) − 3(3x + 5)
(3x + 5)(2x − 3)

3. Factorizar la expresi´on x2 + 2xy + y 2 − 3x − 3y − 4
Soluci´
on:
x2 + 2xy + y 2 − 3x − 3y − 4 = (x + y)2 − 3(x + y) − 4
= ((x + y) + 1)((x + y) − 4)
= (x + y + 1)(x + y − 4)

4. Factorizar la expresi´on a4 + 4a2 + 16.
Soluci´
on: Si en lugar de 4a2 el segundo t´ermino fuera 8a2 , se tendr´ıa un cuadrado
perfecto. De aqu´ı, entonces surgela idea de sumar (y restar) 4a2 . De este modo la
expresi´on resultante ser´a factorizable. En efecto:
a4 + 4a2 + 16 =
=
=
=
=
=
Inst. de Matem´atica y F´ısica

a4 + 4a2 + 4a2 − 4a2 + 16
a4 + 4a2 + 4a2 − 4a2 + 16
(a4 + 8a2 + 16) − 4a2
(a2 + 4)2 − (2a)2
((a2 + 4) − 2a)((a2 + 4) + 2a)
(a2 + 4 − 2a)(a2 + 4 + 2a)
Universidad de Talca

Expresiones algebraicas - Factorizaci´on

Ejercicios resueltos

55. Factorizar las siguientes sumas/restas de cubos:
(a) A = 8x3 + 27y 3
(b) B = (5x + 3)3 + (x − 5)3
(c) C = (3x − 2)3 − 125x3
Soluci´
on:
(a)
A = (2x)3 + (3y)3
= (2x + 3y)((2x)2 − (2x)(3y) + (3y)2 )
= (2x + 3y)(4x2 − 6xy + 9y 2 )
(b)
B =
=
=
=

((5x + 3) + (x − 5))((5x + 3)2 − (5x + 3)(x − 5) + (x − 5)2 )
(6x − 2)(25x2 + 30x + 9 − (5x2 − 22x − 15) + x2 − 10x + 25)
(6x − 2)(25x2 + 30x + 9 − 5x2 +22x + 15 + x2 − 10x + 25)
2(x − 1)(21x2 + 42x + 49)

(c)
C =
=
=
=

Inst. de Matem´atica y F´ısica

(3x − 2)3 − (5x)3
((3x − 2) − (5x))((3x − 2)2 + 5x(3x − 2) + (5x)2 )
(−2x − 2)(9x2 − 12x + 4 + 15x2 − 10x + 25x2 )
−2(x + 1)(49x2 − 22x + 4)

Universidad de Talca

Expresiones algebraicas - Factorizaci´on

Ejercicios resueltos

6

6. La expresi´on algebraica A = a + b − a3 + ab2 + a2 b − b3 sepuede factorizar en 3
factores. Determinar la suma de dichos factores.
Soluci´
on: En primer lugar factoricemos la expresi´on A:
A =
=
=
=
=
=
=
=
=

(a + b) + (ab2 + a2 b) − (a3 + b3 )
(a + b) + ab(a + b) − (a + b)(a2 − ab + b2 )
(a + b)(1 + ab − (a2 − ab + b2 ))
(a + b)(1 + ab − a2 + ab − b2 ))
(a + b)(1 + 2ab − a2 − b2 ))
(a + b)(1 − (a2 − 2ab + b2 ))
(a + b)(1 − (a + b)2 )
(a + b)(1 − (a + b))(1+ (a + b))
(a + b)(1 − a − b)(1 + a + b)

Luego, los 3 factores de la expresi´on A son: a + b, 1 − a − b y 1 + a + b. Por lo
tanto, la suma de los factores de A es:
(a + b) + (1 − a − b) + (1 + a + b) = 2 + a + b

7. Si x2 = 1 y b = 1, comprobar que la expresi´on E =

1 − b2
es inde(1 + bx)2 − (b + x)2

pendiente de b.
Soluci´
on:
(1 − b)(1 + b)
(1 + bx + b + x)(1 + bx − (b + x))
(1 − b)(1 + b)
=(1 + bx + b + x)(1 + bx − b − x)

E =

Inst. de Matem´atica y F´ısica

Universidad de Talca

Expresiones algebraicas - Factorizaci´on

Ejercicios resueltos

7

(1 − b)(1 + b)
(1 + b + x(1 + b))(1 − b − x(1 − b))
(1 − b)(1 + b)
=
((1 + b)(1 + x))((1 − b)(1 − x))
1
=
(1 + x)(1 − x)
1
=
1 − x2
=

como en el resultado obtenido no aparece b, se ha verificado que la expresi´on E es
independiente de...