Factorizacion LU
Páginas: 4 (980 palabras)
Publicado: 31 de mayo de 2015
Factorizaci´on LU
Alexis Vera P´erez
Instituto de Estad´ıstica & Sistemas Computarizados de Informaci´on
Universidad de Puerto Rico, Recinto de R´ıo Piedras
Agosto 2007
En el momento de resolver unsistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones en n desconocidas, podemos recurrir a diferentes m´etodos. Uno de los
m´etodos m´as utilizados lo es el m´
etodo de eliminaci´
on de Gauss el cualconsiste en convertir la matriz aumentada (A|b), donde A es la matriz de
coeficientes del sistema de ecuaciones, en la forma escalonada.
Si U es una matriz triangular superior cuyos elementos diagonales sondiferentes de cero, entonces el sistema lineal U x = b puede ser resuelto sin
tener que transformar la matriz aumentada (U |b) a la forma escalonada. La
matriz aumentada est´a dada por
u11 u12 u13
0 u22 u23
0
0 u33
..
..
..
.
.
.
0
0
0
. . . u1n
. . . u2n
. . . u3n
. . . ..
.
. . . unn
b1
b2
b3
..
.
bn
y la soluci´on se obtiene por el siguiente algoritmo(sustituci´
on en reversa):
bn
xn =
unn
bn−1 − un−1n xn
xn−1 =
un−1n−1
..
.
j−1
bj −
xj =
ujk xn
k=n
j = n, n − 1, . . . , 2, 1
ujj
1
De forma parecida, si L es una matriz triangular inferior cuyoselementos
diagonales son diferentes de cero, entonces el sistema lineal Lx = b puede
ser resuelto de la siguiente forma: La matriz aumentada tiene la forma
11
0
21
22
0
0
3132
33
n1
n2
..
.
..
.
..
.
...
...
...
..
.
0
0
0
..
.
b1
b2
b3
..
.
n3
...
nn
bn
y la soluci´on se obtiene por el siguiente algoritmo (sustituci´
on hacia adelante):x1 =
x2 =
b1
11
b2 −
21 x1
22
..
.
j−1
jk xk
bj −
xj =
k=1
j = 2, . . . , n
jj
Ejemplo 1 Para resolver el sistema lineal
4x1 = −36
3x1 + 2x2 = 11
x1 + x2 + x3 = 16
utilizamos sustituci´onhacia adelante y obtenemos que
−36
x1 =
= −9
4
11 − 3x1
x2 =
= 19
2
x3 = 16 − x2 − x1 = 6
As´ı que la soluci´on para el sistema de ecuaciones triangular inferior dado es
−9
x = 19
6
2...
Alexis Vera P´erez
Instituto de Estad´ıstica & Sistemas Computarizados de Informaci´on
Universidad de Puerto Rico, Recinto de R´ıo Piedras
Agosto 2007
En el momento de resolver unsistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones en n desconocidas, podemos recurrir a diferentes m´etodos. Uno de los
m´etodos m´as utilizados lo es el m´
etodo de eliminaci´
on de Gauss el cualconsiste en convertir la matriz aumentada (A|b), donde A es la matriz de
coeficientes del sistema de ecuaciones, en la forma escalonada.
Si U es una matriz triangular superior cuyos elementos diagonales sondiferentes de cero, entonces el sistema lineal U x = b puede ser resuelto sin
tener que transformar la matriz aumentada (U |b) a la forma escalonada. La
matriz aumentada est´a dada por
u11 u12 u13
0 u22 u23
0
0 u33
..
..
..
.
.
.
0
0
0
. . . u1n
. . . u2n
. . . u3n
. . . ..
.
. . . unn
b1
b2
b3
..
.
bn
y la soluci´on se obtiene por el siguiente algoritmo(sustituci´
on en reversa):
bn
xn =
unn
bn−1 − un−1n xn
xn−1 =
un−1n−1
..
.
j−1
bj −
xj =
ujk xn
k=n
j = n, n − 1, . . . , 2, 1
ujj
1
De forma parecida, si L es una matriz triangular inferior cuyoselementos
diagonales son diferentes de cero, entonces el sistema lineal Lx = b puede
ser resuelto de la siguiente forma: La matriz aumentada tiene la forma
11
0
21
22
0
0
3132
33
n1
n2
..
.
..
.
..
.
...
...
...
..
.
0
0
0
..
.
b1
b2
b3
..
.
n3
...
nn
bn
y la soluci´on se obtiene por el siguiente algoritmo (sustituci´
on hacia adelante):x1 =
x2 =
b1
11
b2 −
21 x1
22
..
.
j−1
jk xk
bj −
xj =
k=1
j = 2, . . . , n
jj
Ejemplo 1 Para resolver el sistema lineal
4x1 = −36
3x1 + 2x2 = 11
x1 + x2 + x3 = 16
utilizamos sustituci´onhacia adelante y obtenemos que
−36
x1 =
= −9
4
11 − 3x1
x2 =
= 19
2
x3 = 16 − x2 − x1 = 6
As´ı que la soluci´on para el sistema de ecuaciones triangular inferior dado es
−9
x = 19
6
2...
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