Factorizacion

FACTORIZACIÓN (Objetivo 1.3)
Es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores.
Caso 1. Factorización por factor común (caso monomio): se escribe el factor común (F.C.)
como un coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes queson el
resultado de dividir cada término del polinomio por el F.C. Ejemplos:
a) Descomponer (o factorizar) en factoresa2 + 2ª . El factor común (FC) en los dos términos
esa por lo tanto se ubica por delante del paréntesisa(
). Dentro del paréntesis se ubica el
resultado de:
2
2
2
2
2
+
=
+
=
+
a
aa
a
a
FCa
FC
a
, por lo tanto: a (a+2). Así:a2 + 2a =a(a + 2)
b) Descomponer (o factorizar) 10b - 30ab. Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos el 10 porque siempre se toma elm ayor factor común. El factor común (FC) es 10b. Por lo tanto: 10b - 30ab2 = 10b (1 - 3ab)
c) Descomponer: 18mxy2 - 54m2x2y2 + 36my2 = 18my2(x - 3mx2 + 2)
d) Factorizar 6xy3 - 9nx2y3 + 12nx3y3 - 3n2x4y3 = 3xy3(2 - 3nx + 4nx2 -n2x3)
Caso 2.Factorización por factor común (caso polinomio)
a) Descomponerx (a +b ) +m (a +b )
Estos dos términos tienen como factor común el binomio (a +b ), por lo que se pone (a +b ) como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a +b ), o sea:








y
xa b
ma b
x
ma b
a b






y se tiene:
x(a+ b)+ m(a+ b) =(a+ b)(x+ m)

b) Descomponer 2x (a - 1) -y (a - 1)
El factor común es (a - 1), por lo que al dividir los dos términos de la expresión dada entre el
factor común (a - 1), con lo que tenemos:








2
1
1
2 y
1
1
x a
y a
x
y
a
a

 




, luego:
2x (a -1) -y (a - 1) = (a - 1)(2x -y )
c) Descomponerm (x + 2) +x + 2
Se puede escribir esta expresión así:m (x + 2) + (x + 2) =m (x + 2) + 1(x + 2)
El factor común es (x + 2) con lo que:m (x + 2) + 1(x + 2) = (x + 2)(m + 1)
d) Descomponera (x + 1) -x - 1
Al introducir los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) , se tiene:
a(x + 1) - x- 1 = a(x + 1) - (x + 1) = a(x + 1)- 1(x + 1) = (x + 1)(a - 1)
e) Factorizar 2x (x +y +z ) -x -y –z. Con esto:
2x (x +y +z ) -x -y -z = 2x (x +y +z ) - (x +y +z ) = (x +y +z )(2x - 1)
f) Factorizar (x -a )(y + 2) +b (y + 2). El factor común es (y + 2), y dividiendo los dos
términos de la expresión dada entre (y + 2) tenemos:

 







2
by 2
y
2
2
xa y
x a
b
y
y


 



, luego:
(x -a )(y + 2) +b (y + 2) = (y + 2)(x -a +b )

g) Descomponer (x + 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 3). Al dividir entre el factor común (x - 1):

 






 





2
1
1
3
2 y
3
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x


 

 
 


, por tanto:
(x + 2)(x - 1) - (x - 1)(x - 3) = (x - 1)(x + 2)- (x - 3) = (x - 1)(x + 2 -x + 3) = (x - 1)(5) = (x -
1)
h) Factorizarx (a - 1) +y (a - 1) -a + 1.
x(a - 1) + y(a - 1) - a+1 = x(a - 1) + y(a - 1) - (a - 1) = (a - 1)(x+ y - 1)
Caso 3. Factorización por factor común (caso agrupación de términos):
a) Descomponerax +bx +ay +by
Los dos primeros términos tienen el factor comúnx y los dos últimos el factor comúny . Agrupamos los dosprimeros en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo (+):
ax +bx +ay +by = (ax +bx ) + (ay +by )
=x (a +b ) +y (a +b )
= (a +b )(x +y )
Hay varias formas de hacer la agrupación, con la condición de que los dos términos agrupados tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar...