Factorizacion

´ FACTORIZACION ALGEBRAICA
Johana Andrea Torres D´ ıaz
Profesora Universidad Pedag´gica Nacional o Profesora Universidad Sergio Arboleda Bogot´ D.C, Colombia a

Lyda Constanza Mora Mendieta
Profesora Universidad Pedag´gica Nacional o Profesora Universidad Sergio Arboleda Bogot´ D.C, Colombia a

jotorres@uni.pedagogica.edu.co

lmendieta@uni.pedagogica.edu.co

Carlos Julio Luque AriasProfesor Universidad Pedag´gica Nacional o Profesor Universidad Sergio Arboleda Bogot´ D.C, Colombia a

caluque@uni.pedagogica.edu.co
Resumen Se presenta la necesidad de la factorizaci´n de n´meros y expreo u siones algebraicas haciendo un recorrido por la historia de las matem´ticas, espec´ a ıficamente con la soluci´n de ecuaciones polin´micas o o o con coeficientes racionales. Finalmente semuestra c´mo el problema de encontrar la soluci´n de una ecuaci´n algebraica lleva al estudio de o o dominios de factorizaci´n unica. o ´

La factorizaci´n es uno de los procesos m´s dif´ o a ıciles de comprender por los estudiantes de la escuela secundaria, llegando a no reconocer la necesidad de emplearla o la posibilidad de aplicarla y, al mismo tiempo, es una de las herramientas m´s empleadasen el trabajo matem´tico para “transformar”una a a expresi´n algebraica de manera conveniente, para resolver alg´n problema. o u Pero su real utilidad, vista a trav´s de la historia, es la soluci´n de ecuaciones e o algebraicas; de hecho, en un primer momento, la factorizaci´n surge ante la o necesidad de solucionar ecuaciones de segundo grado. Los babilonios, fueron los primeros que resolvieron,ecuaciones cuadr´ticas. a En unas tablillas descifradas por Neugebaver en 1930, cuya antig¨edad es u de unos 4000 a˜os, se encontraron soluciones a varias de estas ecuaciones, n

Memorias XIV Encuentro de Geometr´ y II de Aritm´tica ıa e

empleando el m´todo conocido actualmente como “completar el cuadrado”, e en cuyo desarrollo, los babilonios, se valieron de factorizaciones simples que yaconoc´an. ı En t´rminos modernos, este m´todo los llev´ a la f´rmula cuadr´tica: e e o o a x= p 2
2

+q+

p 2

, como soluci´n de la ecuaci´n x2 − px = q o o

El trabajo de los babilonios constituy´ un logro notable, teniendo en cueno ta que no contaban con la notaci´n moderna y por su alto nivel de abso tracci´n, al considerar las ecuaciones cu´rticas como ecuaciones cuadr´ticas o a a“disfrazadas”y resolverlas como tales. Posteriormente, los griegos y los ´rabes consiguieron resolver ecuaciones de a segundo grado utilizando, tambi´n, el m´todo de completar el cuadrado con e e aplicaci´n de areas; ambas civilizaciones se valieron de representaciones geoo ´ m´tricas para mostrar hechos algebraicos, como se evidencia en el II libro de e los Elementos de Euclides, por ejemplo:Proposici´n 1. “Si hay dos rectas y una de ellas se corta en un n´mero o u cualquiera de segmentos, el rect´ngulo comprendido por las dos rectas es igual a a a los rect´ngulos obtenidos por la (recta) no cortada y cada uno de los segmentos.” A B ∆ E Γ

H Figura: 1

K

Λ

θ

Que, en notaci´n moderna, la proposici´n equivale a la propiedad distributiva o o de la multiplicaci´n respecto a la adici´n:o o ab + ac + ad = a(b + c + d). 178

´ Factorizacion Algebraica

Para resolver ecuaciones de la forma ax2 + bx = c los griegos (Euclides) y los arabes1 (Al- khowarizmi y Tabit Ben Qurra), ´ desarrollaron el siguiente procedimiento; para encontrar, por ejemplo, un n´mero x tal que u x2 + 4x = 140 consideraban x como el lado de un cuadrado de area x2 y 4x como el area ´ ´ 2 de un rect´ngulode lados 4 y x, respectivamente; en consecuencia, x + 4x a es el ´rea de la figura: a

x

4

x

x2

4x

Figura: 2 Posteriormente, cambiaban este dibujo por otra figura con la misma area, ´ dividiendo el rect´ngulo de area 4x en dos rect´ngulos de area 2x y colocando a ´ a ´ uno de ellos a la derecha del de area x2 y el otro debajo para formar la ´ siguiente figura:

1

Van der...