Factorizacion

Elaboró: Ing. JULIO RÍOS (http://julioprofe.blogspot.com ; www.youtube.com/julioprofe) 2.009
PRINCIPALES CASOS DE FACTORIZACIÓN
CASO
Características y cuándo aplicarlo
Cómo realizar la factorización
Ejemplos
1
Factor Común
- Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de cuatro términos o más. No aplica para monomios.
- Es el primer caso que se debe inspeccionar cuando se trata defactorizar un polinomio.
- El factor común es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos. Puede ser un número, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresión algebraica (encerrada en paréntesis) o combinaciones de todo lo anterior.
- De los coeficientes de los términos, se extrae el MCD (Máximo Común Divisor) de ellos.
- De las letras o expresiones en paréntesisrepetidas, se extrae la de menor exponente.
- Se escribe el factor común, seguido de un paréntesis donde se anota el polinomio que queda después de que el factor común ha abandonado cada término.
3+3=3(+)
10−15=5 2−3
+−= +−
−73+82−4+11=− 73−82+4−11
+1 − +1 +5 +1 = +1 −+5
12342−1822+30532ℎ=622 23−3+532ℎ
2
Factor Común por Agrupación de Términos
- Se aplica en polinomios que tienen 4, 6,8 o más términos (siempre que el número sea par) y donde ya se ha verificado que no hay factor común (caso 1).
- Se forman grupos de igual número de términos, buscando que exista alguna familiaridad entre los términos agrupados (es decir, que tengan rasgos comunes).
- La agrupación se hace colocando paréntesis.
- ¡CUIDADO! Deben cambiarse los signos de los términos encerrados en el paréntesissi éste queda precedido por signo negativo.
- Se extrae factor común de cada grupo formado (es decir, aplicamos el caso 1 en cada expresión encerrada en paréntesis).
- Por último, se extrae factor común de toda la expresión (es decir, nuevamente se aplica el caso 1; en esta ocasión, el factor común es una expresión encerrada en paréntesis).
Factorizar: +++
Nótese que no existe factor común eneste polinomio de cuatro términos.
Entonces, formamos grupos de dos términos: = + + +
Extraemos factor común de cada grupo formado: = + + +
Por último, extraemos factor común de toda la expresión: = + +
Factorizar: 2−5−2+2+5−5
Nótese que no existe factor común en este polinomio de seis términos.
Antes de formar los grupos, es conveniente reubicar los términos (observe que hay tres que tienencoeficiente 2 y otros tres que tienen coeficiente 5…¡Eso es un rasgo común!): =2−2+2−5+5−5
Agrupamos: Los tres primeros términos y los tres últimos:
= 2−2+2 − 5−5+5
Nótese que los signos del segundo paréntesis cambiaron, ya que éste queda precedido de signo negativo. Ahora, extraemos factor común de cada grupo formado: =2 −1+ −5 −1+
Por último, extraemos factor común de toda la expresión: =−1+ 2−5
3
Diferencia de Cuadrados Perfectos
- Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo y el segundo término es negativo.
- Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cuadrados perfectos (es decir números que tienen raíz cuadrada exacta, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, etc.) y losexponentes de las letras son cantidades pares (2, 4, 6, 10, 8n, 16b, etc.)
- Se extrae la raíz cuadrada de cada término: Al coeficiente se le extrae la raíz cuadrada normalmente (por ejemplo: 81=9) y a las letras, su exponente se divide entre 2 (por ejemplo: 6=3; 8=4; 2=). Esto último se fundamenta en la propiedad de la radicación: = .
- Se abren dos grupos de paréntesis (conectados entre sí pormultiplicación).
- Las raíces cuadradas que se obtuvieron de cada término se anotan dentro de cada paréntesis: en el primero van sumando y en el segundo van restando (es decir, se obtiene el producto notable llamado SUMA POR DIFERENCIA).
Factorizar: 2−2
Extraemos la raíz cuadrada de cada término: 2= ; 2=.
Entonces, la factorización queda así: = + −
Factorizar: 4942−641014
Extraemos la raíz...