factorizacion

Tema: 9.2. Factorización del trinomio cuadrado perfecto.
Objetivos:
• Definir el concepto de trinomio cuadrado perfecto.
• Explicar la factorización del trinomio cuadrado perfecto.
El trinomio cuadrado perfecto es un caso especial de trinomio que se puede escribir como el cuadrado de un binomio empleando las siguientes ecuaciones.
Trinomio cuadrado perfecto Cuadrado del binomiocorrespondiente
x2+2xy+y2 = (x+y)2
x2-2xy+y2 = (x-y)2
Ejemplo:
(x+3)2=(x+3)(x+3)=x2+6x+9
Donde (x+3)2es el cuadrado del binomio y x2+6x+9 es el trinomio cuadrado perfecto. Trinomio porque tiene tres términos y es cuadradoperfecto porque el primer término (x2), y el tercero (9), aceptan raíz cuadrada.
Para factorizar el trinomiocuadradoperfecto se aplica lasiguiente regla:
a) Se escribe un paréntesis.
b) Se obtiene la raíz cuadrada del primer término.
c) Se obtiene la raíz cuadrada del tercer término y se escribe en el paréntesis.
d) El signo del binomio se toma del signo que tenga el segundo término del trinomio.
e) El binomio se eleva al cuadrado.
Ejemplo:
1) x2+6x+9=(x+3)2
a) Se escribe un paréntesis ( )
b) Se obtiene laraíz cuadrada al primer término (en este caso x2), por lo que se obtiene:

c) Se obtiene la raíz cuadrada del tercer término, en este caso 9, por lo que:

d) Se escribe el resultado de los pasos (b) y (c) en el paréntesis con el signo del segundo término:
(x+3)
e) Se eleva al cuadrado el binomio resultante y se obtiene:
(x+3)2, que mantiene la igualdad con el trinomio x2+6x+9(x+3)2=x2+6x+9
Ejercicios.
1) 4x2-20xy+25y2
2) 25x2+30x+9
3) 3a3+24a2b+48ab2
4) 100x10-60c4x5y6+9c8y12
5) 100x6-160x3y3+64y6
6) 9x4-36x2y3+36y6
7) 36y2-48y+16
8) 4a2-32a+64
9) 64x4-64x2+16
10) 81x4y4-72x2y2+16 Solución.
1) (2x-5y)2
2) (5x+3)2
3) 3a(a+4b)2
4) (10x5-3c4y6)2
5) (10x3-8y3)2
6) (3x2-6y3)2
7) (6y-4)2
8) (2a-8)2
9) (8x2-4)2
10)(9x2y2-4)2





DIFERENCIA DE CUADRADOS / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

EJEMPLO 5: (Con potencias distintas de 2)

x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)

x3 2
x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6


EXPLICACIÓN:


1) Las bases son: x3 y 2. Ya que (x3)2 es igual a x6. (Potencia de Potencia)
(¿qué son las bases?)

2) Pongo esas bases sumando y restando,entre paréntesis y multiplicándose. El resultado de la factorización es entonces:

(x3 + 2).(x3 - 2) SUMA POR RESTA DE LAS BASES

Es decir: "Las bases sumadas, multiplicado por la bases restadas".
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CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del caso están en CONCEPTOS - DIFERENCIA DE CUADRADOS


¿Cómo reconozco si unapotencia distinta de 2 es un cuadrado?

Para que una potencia sea "cuadrado", el exponente tiene que ser un número par (2, 4, 6, 8, 10, etc.). (¿qué es el exponente?) Por ejemplo, son cuadrado las siguientes potencias distintas de 2:

x4 porque es igual a (x2)2, o sea: es cuadrado de x2 (Potencia de Potencia)

x6 porque es igual a (x3)2, o sea: es cuadrado de x3

x8 porquees igual a (x4)2, o sea: es cuadrado de x4

x10 porque es igual a (x5)2, o sea: es cuadrado de x5

etc.

Cuando tenemos una potencia elevada a otra potencia, podemos multiplicar los exponentes. Por ejemplo: (x3)2 es igual a x3.2, lo que es igual a x6. Multipliqué los exponentes ("dos por tres"), usando una propiedad a la que llaman Potencia de Potencia. Entonces, por la misma razón,puedo hacer lo contrario: Si tengo una potencia como x6, puedo dividir el 6 por 2 (que dá 3), y así concluir que x6 es igual a (x3)2.
Así, pude expresar a x6 como un cuadrado: como x3 al cuadrado. Esto lo puedo hacer siempre que la potencia sea un número par. Porque solamente a los números pares los puedo dividir por 2 y que me dé un número natural ("sin coma"). Por eso, sólo a las potencias pares...