Factorizacion
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Publicado: 24 de noviembre de 2011
Factorización
Es la descomposición de un objeto; (por ejemplo, un número, una matriz o un polinomio). En el producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo: el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza en el binomio conjugado (a - b)(a + b).
La Factorización se utiliza normalmente parareducir algo en sus partes constituyentes.
En álgebra se emplearan técnicas que nos ayuden a factorizar expresiones.
Como por ejemplo:
Diferencia de Cuadrados:
Se conocen como diferencia de cuadrados, expresiones de este tipo X² - Y² = (X -Y )(X + Y)
Y esa es la manera de factorizarlas. De la misma manera lo podemos aplicar a números por ejemplo:
9 - 4 = (3 + 2) (3 - 2)
121 - 81 = (11 + 9) (11- 9)
64 - 16 = (8 - 4) (8 + 4) En el caso de un número natural, se lo factoriza para saber los factores primos que lo forman.
Por ejemplo:
30 = 3 x 2 x 5
En el caso de los polinomios, que son sumas y restas de términos, se los factoriza para que queden como producto de binomios.
Por ejemplo:
x^2 - 4 = (x + 2).(x - 2)
Así, una suma de dos términos, se transformó en un producto de dosfactores.
Mínimo común múltiple
El mínimo común múltiplo como su nombre lo dice es el multiplo(producto de una multiplicacion)mas reducido al que se puede llegar.Solo se aplica con numeros enteros,es decir no se usan decimales ni numeros negativos.
Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos divididoentre su máximo común divisor.
m.c.m.(a, b) = \frac {a \cdot b}{m.c.d.(a, b)}
El minimo comun multiplo de dos numeros tambien se puede obtener como su nombre lo dice de los multiplos de ambos numeros y cuando estos lleguen al mismo numero y el mas cercano ese sera el minimo comun multiplo de ciertos numeros EJEMPLO:
25-50
5-10 15 20 25 30 35 40 45 50
Y el numero final en estecaso el 50 es el m.c.m.
Para más de dos números, un algoritmo es el siguiente:
1. Descomponer los números en factores primos.
2. Para cada factor, elegir entre todas las descomposiciones aquel factor con mayor exponente.
3. Multiplicar todos los factores elegidos.
Maximo comun divisor
1. Si \ mcd(a,b)= d entonces \ mcd\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)= 1
2. Si \ m es unentero, \ mcd(ma,mb)= |m|\cdot mcd(a,b)
3. Si \ p es un número primo, entonces \ mcd(p,m)=p o bien mcd(p,m) = 1
4. Si \ d=mcd(m,n),\ m=dm',\ n=dn', entonces \ mcd(m',n')=1
5. Si d=mcd(m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ mcd(m'',n'')=1, entonces \ d=d'
6. Si \ d' es un divisor común de \ m y \ n, entonces d'\mid mcd(m,n)
7. Si \ m=nq+r, entonces \ mcd(m,n)=mcd(n,r)
8. Si \m=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k} y \ n=p_1^{\beta_1}\cdots p_k^{\beta_k},\ \alpha_i, \beta_i\geq 0, i=1,...,k, entonces:
mcd(m,n)=p_1^{min(\alpha_1,\beta_1)}\cdots p_k^{min(\alpha_k,\beta_k)}
La última propiedad dice que el máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente....
Geométricamente, el máximo común divisor de a y b es elnúmero de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (a,b), excluyendo el (0,0).
En palabras más simples, el máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números al mismo tiempo.
Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:
* Se descompondránlos números en factores primos y se tomarán los factores comunes con su menor exponente, el producto de los cuales será el m.c.d.
* Si el número es muy grande este método no es operativo porque no conocemos los posibles factores. En ese caso tenemos que utilizar el mucho más rápido algoritmo de Euclides.
El m.c.d. de tres números se puede calcular como sigue: mcd(a,b,c) = mcd(a,...
Es la descomposición de un objeto; (por ejemplo, un número, una matriz o un polinomio). En el producto de otros objetos más pequeños (factores), que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo: el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza en el binomio conjugado (a - b)(a + b).
La Factorización se utiliza normalmente parareducir algo en sus partes constituyentes.
En álgebra se emplearan técnicas que nos ayuden a factorizar expresiones.
Como por ejemplo:
Diferencia de Cuadrados:
Se conocen como diferencia de cuadrados, expresiones de este tipo X² - Y² = (X -Y )(X + Y)
Y esa es la manera de factorizarlas. De la misma manera lo podemos aplicar a números por ejemplo:
9 - 4 = (3 + 2) (3 - 2)
121 - 81 = (11 + 9) (11- 9)
64 - 16 = (8 - 4) (8 + 4) En el caso de un número natural, se lo factoriza para saber los factores primos que lo forman.
Por ejemplo:
30 = 3 x 2 x 5
En el caso de los polinomios, que son sumas y restas de términos, se los factoriza para que queden como producto de binomios.
Por ejemplo:
x^2 - 4 = (x + 2).(x - 2)
Así, una suma de dos términos, se transformó en un producto de dosfactores.
Mínimo común múltiple
El mínimo común múltiplo como su nombre lo dice es el multiplo(producto de una multiplicacion)mas reducido al que se puede llegar.Solo se aplica con numeros enteros,es decir no se usan decimales ni numeros negativos.
Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos divididoentre su máximo común divisor.
m.c.m.(a, b) = \frac {a \cdot b}{m.c.d.(a, b)}
El minimo comun multiplo de dos numeros tambien se puede obtener como su nombre lo dice de los multiplos de ambos numeros y cuando estos lleguen al mismo numero y el mas cercano ese sera el minimo comun multiplo de ciertos numeros EJEMPLO:
25-50
5-10 15 20 25 30 35 40 45 50
Y el numero final en estecaso el 50 es el m.c.m.
Para más de dos números, un algoritmo es el siguiente:
1. Descomponer los números en factores primos.
2. Para cada factor, elegir entre todas las descomposiciones aquel factor con mayor exponente.
3. Multiplicar todos los factores elegidos.
Maximo comun divisor
1. Si \ mcd(a,b)= d entonces \ mcd\left(\frac{a}{d},\frac{b}{d}\right)= 1
2. Si \ m es unentero, \ mcd(ma,mb)= |m|\cdot mcd(a,b)
3. Si \ p es un número primo, entonces \ mcd(p,m)=p o bien mcd(p,m) = 1
4. Si \ d=mcd(m,n),\ m=dm',\ n=dn', entonces \ mcd(m',n')=1
5. Si d=mcd(m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ mcd(m'',n'')=1, entonces \ d=d'
6. Si \ d' es un divisor común de \ m y \ n, entonces d'\mid mcd(m,n)
7. Si \ m=nq+r, entonces \ mcd(m,n)=mcd(n,r)
8. Si \m=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k} y \ n=p_1^{\beta_1}\cdots p_k^{\beta_k},\ \alpha_i, \beta_i\geq 0, i=1,...,k, entonces:
mcd(m,n)=p_1^{min(\alpha_1,\beta_1)}\cdots p_k^{min(\alpha_k,\beta_k)}
La última propiedad dice que el máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente....
Geométricamente, el máximo común divisor de a y b es elnúmero de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (a,b), excluyendo el (0,0).
En palabras más simples, el máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números al mismo tiempo.
Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:
* Se descompondránlos números en factores primos y se tomarán los factores comunes con su menor exponente, el producto de los cuales será el m.c.d.
* Si el número es muy grande este método no es operativo porque no conocemos los posibles factores. En ese caso tenemos que utilizar el mucho más rápido algoritmo de Euclides.
El m.c.d. de tres números se puede calcular como sigue: mcd(a,b,c) = mcd(a,...
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