Factorizacion

Matemáticas III

MCM, MCD y Factorización Algebraica

Mtro. Hugo Alonso Sánchez

Estrategia

Factor común y por agrupación

Factorización

Factorización de diferencia de cuadrados y cubos

Factorización de trinomios

Factor
Expresión algebraica que multiplica a una segunda expresión

a b x z a bx z

a b y x z b y x z

Factorización
Operación necesaria para re-escribiruna expresión algebraica como producto de factores simples

ma

2

mb

2

m(a b)( a b)

Caso I. Factor Común
Aparece en todos los términos de la expresión algebraica, un término común

ma

2

mb

2

• Identificar el máximo término común

3x y x 24a xy
2 2

2

36 x y

2 4

a( x 1) b( x 1)

• Dividir la expresión algebraica original entre el máximo término comúnCaso I. Factor Común
Resolviendo los ejemplos:

Ejemplo

Máx. factor común

Segund o factor

Factorización

ma
2

2

mb
2

2

m
x
12xy2

3x y x
24a xy 36 x y
2 4

2

a b 3xy 1
2a
2

2

2

m(a

2

b )

2

x(3xy 1)
12 xy2 (2a 2 3xy2 )

3xy

2

a( x 1) b( x 1)

x 1

a b

( x 1)( a b)

Caso Ib. Factor Común por Agrupación de TérminosAparece un término común compuesto después de agrupar términos con factores comunes simples
• Agrupar términos con factores comunes, usando la propiedad asociativa • Factorizar (Caso I) en cada grupo, los factores comunes • Identificar el máximo término común • Dividir la expresión algebraica entre el máximo término común

ax a bx b
3m
2

6mn 4m 8n

2am n 1 2an 2a m

Caso Ib. FactorComún por Agrupación de Términos
Resolviendo los ejemplos:

ax a bx b
(a b)( x 1)

(ax a) (bx b)

a( x 1) b( x 1)

procedimiento

Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos
Resolviendo los ejemplos:

3m

2

6mn 4m 8n

(3m2 6mn) (4m 8n)

(3m 4)( m 2n)

3m(m 2n) 4(m 2n)

procedimiento

Caso Ib. Factor Común por Agrupación de Términos
Resolviendo los ejemplos:
2amn 1 2an 2a m
(2am 2an 2a) (m n 1)

(2a 1)( m n 1)

2a(m n 1) (m n 1)

procedimiento

Caso II. Factorización de Trinomios
Trinomio Cuadrado Perfecto • Determinar si es tcp • Obtener la raíz cuadrada del primer y tercer términos • Observar el signo del segundo término • Escribir el binomio al cuadrado

a

2 2

2ab b

2

x

2x 1 12ax 9

4a x

2 2

Caso II. Factorizaciónde Trinomios
Resolviendo ejemplos:

a

2

2ab b

2

¿ es tcp ?
Sí

a

2

a

b

2

b

2ab

( a b)

2

procedimiento

Caso II. Factorización de Trinomios
Resolviendo ejemplos:

¿ es tcp ?

4a x

2 2

2ax

4a x

2 2

12ax 9

Sí

9

3

12ax

(2ax 3)

2

procedimiento

Caso IIb. Factorización de Trinomios 2 Trinomio de la forma x cx dx

2

12 x 20 39ax 30

•Obtener la raíz cuadrada del primer término • Determinar dos números que sumados sean igual a c y que multiplicados sean igual a d • Escribir el producto de binomios

9a x

2 2

Caso IIb. Factorización de Trinomios
Resolviendo ejemplos:

x

2

x

x

2

12 x 20

10 2

12

( 10)( 2) 20

( x 10)( x 2)
procedimiento

Caso II.Factorización de Trinomios
Resolviendo ejemplos:

9a x

2 2

3ax

9a x

2 2

39ax 30

10 3

13

( 10)( 3) 30

(3ax 3)(3ax 10) 3(ax 1)(3ax 10)
procedimiento

Caso IIb. Factorización de Trinomios 2 Trinomio de la forma x cx d

x

2

12 x 20 39ax 30

Método general • Completar el tcp

9a x

2 2

• Factorizar la diferencia de cuadrados resultantes

( x a) 2

x 2 2ax a 2x

2

12 x 20

x

2

x

2ax
a
2

12x 12 x 6 2x

( x 2)( x 10)
x

( 6)
2

36

12 x 36 36 20

( x 6 4)( x 6 4)

( x 6)

2

16

Trinomio Cuadrado Perfecto
Resultado del siguiente producto notable:

( a b)
o,

2

a

2

2ab b
2

2

( a b)

2

a

2ab b

2

Trinomio de la forma
x
2

cx d
2

Resultado del siguiente producto...