Factorizacion

α
FACTORIZACIÓN

α

DEFINICIÓN.Es la operación que tiene por finalidad transformar una expresión algebraica racional y entera en otra equivalente, que sea igual al producto de sus factores primos racionales y enteros. En general, factorizar significa convertir una suma algebraica en un producto de factores.

a continuación, se saca las letras comunes afectadas por los menores exponentes(xayb), luego se divide cada término del polinomio entre el factor común monomio y los resultados se escribe dentro del paréntesis.

lo

MÉTODOS PARA FACTORIZAR
SP D
(A) FACTOR COMÚN

gs p

ot

Cuando el factor común que aparece es un polinomio. Ejemplo: Factorizar: (a + 1)7 (a2 + 1)10 - (a + 1)5 (a2 + 1)11

.c

A.2) FACTOR COMÚN POLINOMIO.

α

w

w

.L

De dos o másexpresiones algebraicas, es la parte numérica y/o literal que esté repetida en dichas expresiones. El factor común puede ser de tres tipos:

El factor común es (a + 1)5(a2 + 1)10, así: (a + 1)7 (a2 + 1)10 - (a + 1)5 (a2 + 1)11 = (a + 1)5 (a2 + 1)10 [(a + 1)2 - (a2 + 1)] efectuando:

1) Factor común monomio

3) Factor común por agrupación A.1) FACTOR COMÚN MONOMIO. Cuando el factor común a todoslos términos del polinomio es un monomio. Ejemplo: Factorizar: 72x2ayb + 48xa+1yb+1 + 24xay2b El factor común es 24xayb, de esta manera: 72x2ayb + 48xa+1yb+1 + 24xay2b = 24xayb (3xa + 2xy + yb) Explicación.- Para sacar el factor común monomio: en primer lugar se saca el coeficiente común (24),

= (a + 1)5 (a2 + 1)10 [a2 + 2a + 1 - a2 - 1] = (a + 1)5 (a2 + 1)10 (2a) Luego: (a + 1)7 (a2 + 1)10 - (a+ 1)5 (a2 + 1)11 = 2a(a + 1)5 (a2 + 1)10 A.3) FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN.

Cuando no hay un factor común a todos los términos del polinomio. Ejemplo: Factorizar xm+n + ym+n + (xy)m + (xy)n

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2) Factor común polinomio

w

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IB

R

O

F1

.b

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om

Efectuando operaciones: x x +y y +x y
m n m n m mefectuando por Legendre: +xy
n n

E = (x + y)7 (x - y)5 [4(x . y)] finalmente: E = 4xy(x + y)7 (x - y)5 3.- Factorizar: E = (x + 1)4 + (x + 2)3 +(x + 3)2 - 7(x + 2) + 2

No hay factor monomio ni polinomio, por lo tanto se agrupa términos de 2 en 2: (xmxn + xmym) + (ymyn + xnyn) sacando factores comunes en cada paréntesis: x (x + y ) + y (y + x ) sacando el factor común binomio: (xn + ym) (xm+ yn)
m n m n m n

Solución: Haciendo x + 1 = a, se obtiene: E = a4 + (a + 1)3 + (a + 2)2 - 7(a + 1) + 2 operando: E = a4 + a3 + 3a2 + 3a + 1 + a2 + 4a + 4 - 7a -7 + 2

EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Factorizar: E = (x + 3)(x + 2)(x + 1) + (x + 2)(x + 1) + (x + 1) Solución: Extrayendo factor común (x + 1)

lo

gs p

ot

E = a4 + a3 + 4a2

.c

simplificando:

SP

E = (x + 1) [(x +3)(x + 2) + (x + 2) +1]

D

F1

factorizando: E = a2(a2 + a + 4) reponiendo el valor de a: E = (x + 1)2 [(x + 2)2 + (x + 1) + 4] efectuando: E = (x + 1)2 [x2 + 2x + 1 + x + 1 + 4] E = (x + 1)2 (x2 + 3x + 6)

E = (x + 1)(x2 + 6x + 9) E = (x + 1)(x + 3) 2.- Factorizar: E = (x + y)9 (x - y)5 - (x2 - y2)7 Solución: Transformemos previamente: (x2 - y2)7 = [(x + y)(x - y)]7 = (x + y)7 (x - y)7De este modo: E = (x + y)9 (x - y)5 - (x + y)7 (x - y)7 extrayendo factor común (x + y) (x - y) : E = (x + y) (x - y) [(x + y) - (x - y) ]
7 5 2 2 7 5 2

w

w

E = (x + 1)[x + 5x + 6 + x + 2 + 1]

w

2

.L

IB

efectuando:

4.- Factorizar: E = xyyx + xy +xy+1 + yx+1 Solución: Agrupando en forma adecuada: E = (xyyx + xy+1) + (yx+1 + xy) extrayendo factor común en cada agrupación:E = xy(yx + x) + y(yx + x) el paréntesis es un factor común, luego: E = (yx + x) (xy + y)

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.b

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5.- Factorizar:

E = x6y + x4z3 - x6z + y6z - x4y2z - x2y5 –––– –––– – –––– - y4z3 + x2y4z –––– ––––– ––––– – Solución: Agrupemos los que tienen igual señal y extraigamos factores comúnes: E =...