factorizacion




















Es el proceso que consiste en transportar un polinomio racional entero en una multiplicación de dos o mas polinomios de grados mayores o iguales a uno, llamado factores:

(x + 1) (x + 3) = x2 + 4x + 3


Y si estos factores no se pueden descomponer en más factores se les denomina factores primos.

Ejemplo 1
P(x) = x2 – 5x – 14

P(x) =(x - 7) (x + 2)

Tiene 2 factores primos son: x – 7; x + 2


Ejemplo 2
Q(x, y) = x4y3 – x2y5

Q(x, y) = x2y3 (x2 – y2)
Factorizando

Tiene 2 factores primos son: x – 7; x + 2
Son: x; y; x + y; x - y




POLINOMIO FACTORIZADO
# DE FACTORES PRIMOS
P(x, y, z) = (x + y)(x - y)z2x3

P(x, y, z) = x2y3w5

P(x, y) = (x + y)(x2 – xy + y2)x4

P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 4)xP(x, y) = x3y4(x - 2)(x - y)

P(x, y, z) = (xyz)2

P(x) = x3(x4 + 1)

P(x, y, z) = (x + y)(x + y)(y + z)xyz

P(x, y) = (x + a)(y + b)(x + b)(y + a)









MÉTODO DE FACTORIZACIÓN

A. FACTOR COMÚN MONOMIO
Factor común monomio es el monomio cuyo coeficiente es el máximo común divisor de los coeficientes del polinomio dado y cuya parte variable esta formada por las variablescomunes con su menor exponente.

Ejemplo 1
Factorizar:
25x4 – 30x3 + 5x2

25 – 30 – 5 5
5 - 6 - 1






x4 x3 x2





x2




5x2







5x2(5x2 – 6x + 1)










POLINOMIO
FACTORIZACIÓN MONOMIO COMÚN
P(x, y) = 15x + 25y

P(x) = abx2 – acx

P(x) = 2x2 – 4x + 6x3

P(x, y) = x2y3 – x4y + x3y3

P(x, y) = 5x3y4 – 15x4y5 + 2ax5y5

P(x)= abx2 – ax3 + bx

P(x, y) = x4 – x3 + x

P(x) = 2xn + xn+1 + xn+2

P(x) = 3xn + 6xn-2 – 12xn-1

P(x, y) = 12nxayb + 4nxa-1yb-2 – 8nxa+1yb+2



B. FACTOR COMÚN POLINOMIO
Factor común polinomio es un polinomio que se repite como factor en cada uno de los términos de un polinomio.

Ejemplo 1
P(x) = 2x2y(m + n) – 3z4(m + n) + 5(m + n)

Observa que un polinomio (m + n) se repiteen todos los términos. El cual lo extraemos y queda:

(m + n) (2x2y – 3z4 + 5)

Ejemplo 2
P(x, y) = (x2 + y2)x – (x2 + y2)y – 2(x2 + y2)

El polinomio que se repite es: x2 + y2

Queda:
(x2 + y2) (x – y - 2)






POLINOMIO
FACTORIZACIÓN POLINOMIO COMÚN
(a - 2)x2 – (a – 2)

y2(x + y - z) + m2(x + y - z)

x4(2ª – 5b) + x(2a – 5b) – 5(2a - 5b)

a(p + q) + b(p + q) + c(p +q)

a(a + b - c) + c(a + b - c) + b(a + b - c)



C. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN
DE TÉRMINOS
Cuando TODOS los términos de un polinomio no tienen la misma parte variable, se agrupa los términos que si lo tienen y se hallan los respectivos factores comunes.

Ejemplo 1
a2x + 5m2x – a2y2 – 5m2 – y2











Para factorizar se agrupa los que tenga parte variable común.Entonces:

a2x + 5m2x – a2y2 – 5m2y2




x(a2 + 5m2) – y2(a2 + 5m2)




(a2 + 5m2) (x – y2)


Ejemplo 2
mx + m2 + xy + my

m(x + m) + y(x + m)







POLINOMIO
FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN
m2y2 – 7xy2 + m2z2 – 7xz2

5a – 3b – 3bc5 + 5ac5

6x3 – 1 – x2 + 6x

7mnx2 – 5y2 – 5x2 + 7mny2

d2m – 13c2n2 – d2n2 + 13c2m



D. IDENTIDADES
Aquí utilizamos dosdiferentes productos notables ya estudiados.














Ejemplo 1
x2 – y2 = (x + y)(x - y) (por diferencia de cuadrados)
x2 + 2xy + y2 (por trinomio cuadrado perfecto)
x2 y2

x y  x2 + 2xy + y2 = (x + y)2
xy

2xy

x3 – y3 = (x - y) (x2 + xy + y2)
(Diferencia de cubos)

Ejemplo 2
Factorizar:
a) 4x2 – 9 (parece diferencia de cuadrados)
Le damosforma:
4x2 – 9 = (2x)2 – 32 = (2x + 3)(2x - 3)
4x2 – 9 = (2x + 3)(2x - 3)
(Por diferencia de cuadrados)

b) 25x2 – 40xy + 16y2 (Parece trinomio
cuadrado perfecto)

5x 4y  25x2 – 40xy + 16y2
= (5x – 4y)2
20xy

40xy

c) 27x3 + 8 (Parece suma de cubos)
Le damos forma:
27x3 + 8 =
(3x)3 + (2)3 = (3x + 2) [(3x)2 – (3x)(2) + (2)2]
= (3x + 2) (9x2 – 6x + 4)
27x3 + 8...