factorizacion

 Factor común.
Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón.

 
Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos que: . Cuando factorizamos .
 
Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión completamente factorizada esseleccionar el máximo factor común, . Aquí tenemos como hacerlo:
 
Máximo factor común (MFC).- El término , es el MFC de un polinomio sí:
1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del polinomio, y
2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.
 
De este modo para factorizar , podríamos escribir  
Pero no está factorizado por completo porque  puede factorizarse aún más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente de x en todos los términos es . De esta manera la factorización completa es . Donde  es el MFC.
 
EJEMPLO:
 
 EJEMPLO:
  
EJEMPLO:


 EJEMPLO:

  Por Agrupación.
Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios con cuatro términos. Consideremos . No hay ningún factordiferente de 1. Sin embargo podemos factorizar a  y por separado:
          
Por lo tanto . Podemos utilizar la propiedad distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1

Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método.
 
EJEMPLO:

 
EJEMPLO:
Factorizar

 
EJEMPLO:
Factorizar 
EJEMPLO:
Factorizar



Factorización de binomios
Diferencia de cuadrados
Un binomio de la forma a2 - b2 se conoce como diferencia de cuadrados. Para identificarlo se debe verificar que ambos términos sean cuadrados (o sea, que se pueda obtener su raiz cuadrada) y que un término sea negativo y el otro positivo. Si el término con signo negativo está escrito primero se deben reacomodarpara que se escriba primero el positivo. La factorizacion de una diferencia de cuadrados son unos binomios conjugados y para realizarla se debe usar la identidad algebraica
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
Ejemplo. Encontrar los factores de x2 - 9.
El primer término es un cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es x.
El segundo término es un cuadrado, tiene signo negativo y su raiz cuadrada(sin considerar el signo) es 3.
Por lo tanto la factorización queda:
x2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
Ejemplo. Factorizar la expresión - 25s2 + 4.
El primer término es un cuadrado, tiene signo negativo y su raiz cuadrada (sin considerar el signo) es 5s.
El segundo término es un cuadrado, tiene signo positivo y su raiz cuadrada es 2.
Como el primer término es negativo se debe escribir después delsegundo término para que la expresion quede en forma de diferencia.
De este modo la factorización queda:
- 25s2 + 4 = 4 - 25s2 = (2 + 5s)(2 - 5s)



Diferencia de cubos
Un binomio de la forma a3 - b3 se conoce como diferencia de cubos. Para identificarlo se debe verificar que ambos términos sean cubos (o sea, que se pueda obtener su raiz cúbica) y que un término sea negativo y el otro positivo.Si el término con signo negativo está escrito primero se deben reacomodar para que se escriba primero el positivo. La factorizacion de una diferencia de cubos se realiza usando la identidad algebraica
a3 - b3 = (a2 + ab + b2)(a - b)
Ejemplo. Encontrar los factores de x3 - 27.
El primer término es un cubo, tiene signo positivo y su raiz cúbica es x.
El segundo término es un cubo, tiene signonegativo y su raiz cúbica (sin considerar el signo) es 3.
Por lo tanto la factorización queda:
x3 - 27 = ((x)2 + (x)(3) + (3)2)(x - 3)
x3 - 27 = (x2 + 3x + 9)(x - 3)
Ejemplo. Factorizar la expresión - 125p3 + 8.
El primer término es un cubo, tiene signo negativo y su raiz cúbica (sin considerar el signo) es 5p.
El segundo término es un cubo, tiene signo positivo y su raiz cúbica es 2....