Factorizacion

Lección 3 - Simplificación de expresiones algebraicas

Expresiones Algebraicas
Objetivos: Al terminar esta lección podrás realizar operaciones con expresiones algebraicas y podrás simplificar los resultados.

A cualquier combinación válida de números, variables y operaciones algebraicas (suma, resta, producto, división, exponenciación, raiz) la llamamos una expresión algebraica. Cincoejemplos de expresiones algebraicas son:

2 ; 3 + x ; 4x 2 − 9x + 1 ;

x +3 ; 2x 3 + 11x

3

x 2 +1

Teniendo en cuenta que las variables en las expresiones algebraicas representan números reales, entendemos que cada expresión algebraica también representa números reales y que, por lo tanto, podemos realizar con ellas las mismas operaciones que realizamos con los números. Queremos tambiénescribir los resultados de estas operaciones de la manera más sencilla posible. Llamamos términos a los operandos de una suma o de una resta. El primero de los ejemplos previos tiene sólo un término, el segundo ejemplo tiene dos, el tercero tiene tres, el cuarto ejemplo tiene dos términos en el numerador y dos en el denominador. Consideraremos semejantes a aquellos 2 términos cuya parte variable esidéntica. En la expresión 7x − 8 + 4x + x − 3 + x + 9 x , el primero y el tercero de los términos ( 7x & 4x ) son semejantes. También lo son el segundo y el quinto (-8 & -3), como lo son los últimos dos términos ( x & 9 x ). Cuando decimos que la parte variable es idéntica queremos decir que aparecen las mismas variables elevadas a respectivamente iguales potencias, y partipando de las mismasoperaciones. Aunque multiplicar la parte variable por números distintos no impide que los términos sean semejantes. Por ejemplos: 29x 2 y & − x 2 y son términos semejantes pero 29xy 2 & − x 2 y no lo son. 2x & − 3 2x son términos semejantes pero 2x & 2 + x no lo son. Usando la propiedad distributiva podemos consolidar los términos semejantes. Ejemplos 1) 2) 3)

2x + 7x = (2 + 7)x = 9x −12x 3 y 4 z + 8x3 y 4 z + 9x 3 y 4 z = (−12 + 8 + 9)x 3 y 4 z = 5x 3 y 4 z 11 + 2x + 9 11 + 2x = (1 + 9) 11 + 2 x = 10 11 + 2x (note que al 1 se
reconoció como factor implícito del primer término)

4)

7x 2 − 4x + x 2 − 10 + 20 x + 9 = (7x 2 + x 2 ) + ( −4x + 20x ) + (−10 + 9) = 8x 2 +16x −1

Lección 3 - Simplificación de expresiones algebraicas

Nótese que en el ejemplo 4 precedente, comenzamos porasociar los términos semejantes antes de consolidarlos en un sólo término. Es precisamente al uso de la propiedad asociativa de la suma y de la propiedad distributiva a lo que se reducen nuestras posibilidades de simplificación cuando sumamos o restamos expresiones algebraicas. Ejemplos: 5) 6)

(x +

2x ) + (3x − 7) = ( x + 3x ) + 2x − 7 = 4x + 2 x − 7

(9x 3 −11x 2 +18x −1) + ( x 2 + 6x + 5)= 9x 3 + (−11x 2 + x 2 ) + (18x + 6x ) + (−1+ 5)
= 9x 3 −10x 2 + 24 x + 4

7)

(3a 2 + 5a −1) − (a 2 − 3a + 5) = (3a 2 − a 2 ) + (5a − (−3a)) + ( −1 − 5)
= 2a 2 + 8a − 6

Multiplicación de expresiones algebraicas Para simplificar la multiplicación de expresiones algebraicas nos valemos también de la propiedad distributiva y de la propiedad asociativa. Pero, mientras que en la suma deexpresiones primero usamos la propiedad asociativa, en la multiplicación de expresiones típicamente comenzamos usando la propiedad distributiva. Distribuir la multiplicación significa que cada término de una de las expresiones se multiplicará por cada término de la otra expresión y luego se suman todos esos productos. Ejemplos: 8)

(x + 2) ⋅ (3x −1) = x ⋅ 3x + x ⋅ (−1) + 2 ⋅ 3x + 2 ⋅ (−1) = 3x 2 − x+ 6x − 2
= 3x 2 + 5x − 2

9)

(2x 2 + 4x + 9) ⋅ (6x + 7) = 2 x 2 ⋅ 6x + 2x 2 ⋅ 7 + 4x ⋅ 6x + 4x ⋅ 7 + 9 ⋅ 6x + 9 ⋅ 7
= 12x 3 +14x 2 + 24x 2 + 28x + 54x + 63 = 12x 3 + 38x 2 + 82x + 63

10)

(x

3 2

+ 6x −2 ⋅ (4 + x ) = x 2 ⋅ 4 + x 2 ⋅ x + 6x −2 ⋅ 4 + 6x −2 ⋅ x
3 3

)

= 4x 2 + x 2 + 24x −2 + 6 x −1 5 3 6 24 = x 2 + 4x 2 + + 2 x x
3 5

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