factorizacion

6x-12= 6(x-2)
24a-12ab= 12a(2-b)
En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matrix, un polinomio, etc) en forma de producto. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términosde «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requierede algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA.
Factorizar un polinomio

Una factorización de un polinomio de grado n es un producto de como mucho \scriptstyle m \le n factores o polinomios de grado \scriptstyle n_k \le n con \scriptstyle 1 \le k \le m. Así por ejemplo el polinomioP(x) de grado 5 se puede factorizar como producto de un polinomio de grado 3 y un polinomio de grado 2:


P(x) = x^5-x^3+69x^2-20x+16 = (x^3+4x^2-x+1)(x^2-4x+16)\,

Productos notables





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Artículo bueno

Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado sepuede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.

Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjuga


Factor común





Representación gráfica dela regla de factor común. Forma un gnomon.
El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
c (a + b) = c a + c b \,
Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El área del rectángulo es
c (a + b) \, (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de lasdos áreas coloreadas: ca y cb
Ejemplo:
3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy \,
Cuadrado de un binomio[editar]





Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:
(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 \,
Un trinomio de la expresión siguiente: a^2 +2 a b + b^2 \; se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:
(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 \,
En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.

Ejemplo:
(2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 \,
Simplificando:
(2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 \,
Producto de dos binomios con un término común[editar]Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común.
Para resolver un binomio con término común se tiene que identificar el término común: en este caso X, la cual se eleva al cuadrado, mas la suma de los no comunes: (a)(b) el resultado se multiplica por X mas la multiplicación de los no comunes:
(x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab \,
Ejemplo:
(3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) +(3x)(4) + (4)(-7) \,
Agrupando términos:
(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 \,
Luego:
(3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 \,
Producto de dos binomios conjugados[editar]

Véase también: Conjugado (matemática)





Producto de binomios conjugados.
Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos...