Factorizacion

DESCOMPOSION FACTORIAL

FACTORES
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los términos que multiplicados entre si, dan como resultado la misma expresión

15  (3)(5) = 15
10  (2)(5) = 10
25  (5)(5) = 25
30  (3)(10) = 30
(15)(2) = 30
(6)(5) = 30
45  (9)(5) = 45
(15)(3) = 45
(5)(3)(3) = 45

x2  (x)(x) = x2
y3  (y)(y)(y) = y3
(y2)(y)= y3
15w2  (3w)(5w) = 15w2
12x2y3  (3xy)(4xy2) = 12x2y3
(3xy2)(4xy) = 12x2y3
(4x2)(3y3) = 12x2y3

CASO I
CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UNA EXPRESION ALGEBRAICA TIENEN UN FACTOR COMUN

¿Qué es un factor común?
15  (3)(5) = 15
10  (2)(5) = 10
(15 + 10) = (3*5 + 2*5) = 5(3+2)

El 15 y el 10 tienen en común el numero 5

Entonces: Factor común es una expresión algebraicaque esta contenida en todos los términos de otra expresión algebraica

Como se factoría una expresión algebraica con un factor común
1. Se encierra entre paréntesis toda la expresión algebraica
2. Se determina el factor común de la expresión
3. Se saca del paréntesis la expresión que es factor común.





Ejemplo 1
ay + by
(ay + by) = y(a + b)

Ejemplo 2
a2 + 2a
(a2 + 2a)
(a*a +2a)
a(a + 2)

Prueba general de los factores
En los casos de factorización que se estudiaran, la prueba consiste en multiplicar los factores que se obtienen, y su producto tiene que dar como resultado la expresión que se factorizo

Ejemplo 3
6ab + 4ac
(6ab + 4ac) encerrar entre paréntesis
(3*2ab + 2*2ac) descomponer en factores
(3*2ab + 2*2ac) determinar el factor común
2a(3b + 2c)sacar del paréntesis el factor común
Al multiplicar el factor común por la expresión dentro del paréntesis, el resultado nos tiene que dar la misma expresión que se factorizo

Ejemplo 4
8wx3 + 6zx2
(8wx3 + 6zx2)
(2*4wx*x2 + 2*3zx2) descomponer ambos términos para determinar factor común
(2*4wx*x2 + 2*3zx2) factor común 2x2
2x2(4wx + 3z)

Ejemplo 4
10b – 30ab2
(10b – 30ab2)
(10b –3*10ab*b) descomponer ambos términos para determinar factor común
(10b – 3*10ab*b) factor común 10b
10b(1 – 3ab)

Para determinar si la expresión esta bien factorizada, la expresión que queda entre paréntesis debe de carecer de más factores comunes. Por ejemplo si la expresión anterior se hubiera factorizado de la siguiente manera:





Ejemplo 5
10b – 30ab2
(5*2b – 5*6ab2)
(5*2b –5*6ab*b)
5b(2 – 6ab)

Si se observa con atención, la expresión (2 – 6ab) todavía se puede seguir factorizando

(5b)(2 – 6ab)
(5b)(2 – 2*3ab)
(5b)(2)(1 – 3ab)
10b(1 – 3ab)

Ejemplo 6
5a – 10a2 + 15a3
(5a – 5*2a*a + 5*3a*a2)
(5a – 5*2a*a + 5*3a*a2)
5a(1 – 2a + 3a2)

Algo que ayuda para facorizar este tipo de expresiones es fijarse en el grado menos de las variables. En base al gradomenor se puede tener una idea del factor común de la expresión

Ejemplo 7
x2 + x3 + x4

Como se ve en este ejemplo la expresión con el menor grado es x2 entonces en los demás términos de la expresión debe de estar contenida la x2

(x2 + x*x2 + x2*x2) en los tres términos esta incluida x2
(x2 + x*x2 + x2*x2) entonces, factor común x2
x2(1 + x + x2) se saca x2 del paréntesis

El mismoprocedimiento se hace cuando en la expresión algebraica hay mas de los variables.










CASO II
FACTOR COMUN POR AGRAUPACION DE TERMINOS

Ejemplo 1
Factorizar ax + bx + ay + ay
Los primeros dos términos tienen el factor común “x” (ax + bx).

Los últimos dos tienen el factor común “y”, (ay + by).

Se agrupan los primeros dos términos en un paréntesis y los últimos dos enotro paréntesis.
(ax + bx) + (ay + by)

Luego se procede a sacar el factor común en ambos paréntesis

x(a + b) + y(a + b)

Para que se pueda seguir factorizando la expresión, los términos que quedan entre paréntesis deben ser exactamente iguales. Como se observa el ejemplo, los términos que acompañan al factor común “x”, son iguales a los términos que acompañan al factor común “y”...