Factorizacion

FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS
CON APLICACIONES EN EL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Factorización:
• Es el proceso de escribir una ex presión algebraica com o el producto de otras ex presiones algebraicas diferentes de uno

LA FACTORIZACIÓN DE LA SUMA DE DOS CUADRADOS EN Q.

• • •

La diferencia de dos Cuadrados La diferencia de dos Cubos La sum a de dos cubos :

: a 2− b 2 = (a + b)(a − b)

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b:3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )

Que hay de la Suma de dos Cuadrados?
• Es decir:

a +b = ?
2 2

Citas de algunos libros:
• OBSERVACIÓN: Note que en la tabla hay fórmula para factorizar la sum a de dos cubos, pero no aparece alguna para la sum a de dos cuadrados, pues es prim o sobre el conjunto de los núm eros enteros. •MATEMÁTICAS PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA • Pag. 19 • Segunda Edición • S. T. Tan • Editorial MATH.

• En general una Suma de dos cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, es decir, factores en que no haya raíz, pero hay sumas de cuadrados que, sumándoles y restándoles una m isma cantidad, pueden llevarse al caso anterior y descom ponerse. • ALGEBRA • Pag. 157 • AURELIO BALDOR• Editorial Publicaciones CULTURAL.

TEOREMA 1 .1
• Sea la suma de dos cuadrados 2 + b 2 a ∈ donde a, b ∈Q y sea = 2ab ,csi Q c 2 2 entonces a + b = (a + c + b)(a − c + b) . • DEMOSTRACIONb2 − 2ab a2 + b2 = a2 + 2ab +
= (a + b)2 − c 2

= (a + b + c)(a + b − c) = (a + c + b)(a − c + b)

Ejemplo 1 Factorizar4x + 81
4

• Solución • Tenem os que:4x 4 + 81 = (2x 2 ) 2 + 9 2 2 • Tom ando a= 2x b = 9 , se obtiene:
c = 2ab = 2(2x 2 )(9) = 36x 2 = 6x

• Luego, aplicando el teorema 1 tenemos: = (2x 2 + 6x + 9)(2x 2 − 6x + 9) 4x 4 + 81

Teorema 2 :
• Sea la suma de dos cuadrados a 2 + b 2 , con a, b ∈ℜ , ab ≥ 0 sí entonces:
a 2 + b 2 = a + 2ab + b a − 2ab + b

(

)(

)

Demostración
a 2 + b2 = a 2 + 2ab + b2 − 2ab
= (a + b)2 − 2ab
= (a + b + 2ab)(a + b − 2ab)

= (a+ 2ab + b)(a − 2ab + b)

Ejem plo 2: Factorizar x + 4.
2

• Solución x 2 + 4 = x 2 + 22 • Tenem os que: • Tom ando a = x y b = 2 obtenemos: x 2 + 4 = ( x + 2( x)(2) + 2) ( x − 2( x)(2) + 2) •
= x + 4x + 2 x − 4x + 2

(

x 2 + 4 = x + 2 x + 2 x − 2 x + 2 para x ≥ 0.

(

)(

)(

)

)

Teorem a 3
• Sean a, b ∈ℜ y a 4 + b 4 una sum a de dos bicuadrados entonces:
a 4 + b 4 =(a 2 + 2ab + b 2 )(a 2 − 2ab + b 2 )

• Dem ostración a 4 + b 4 = (a 2 ) 2 + (b 2 ) 2 • Tenem os que: • Luego aplicando el teorem a 2 obtenem os:2 + 2a 2 b 2 + b 2 )(a 2 − 2a 2 b 2 = (a • a 4 + b 4 = (a 2 + 2ab + b 2 )(a 2 − 2ab + b 2 ) • Así:

+ b2 )
∀a, b ∈ ℜ

16 Ejem plo 3: Factorizar x

4

+ 81y

4

• Solución: 16x 4 + 81y 4 = (2x) 4 + (3 y) 4 • Tenem os que: • Tom ando a = 2x∧ b = 3y obtenem os:
16x 4 + 81y 4 = [(2x) 2 + 2 (2x)(3y) + (3y) 2 ][(2x) 2 − 2 (2x)(3y) + (3y) 2 ]

• Por lo tanto: 16x 4 + 81y 4 = (4x 2 + 6 •

2xy + 9 y 2 )(4x 2 − 6 2xy + 9 y 2 )

Teorem a 4
• Sea a n + b n con n ∈ N ∧ par • • • • • •
a mbm ≥ 0

entonces

a n + b n = (a m + 2a m b m + b m )(a m − 2a m b m + b m )

y n = 2m Para Dem ostración: n= Com o n es par se puede escribir:2m Así: a n + b n = a 2m + b 2m = (a m ) 2 + (b m ) 2 m m m m m m m m para m ≥ 0 a mb = (a + 2a b + b )(a − 2a b + b ) Por tanto:a n + b n = (a m + 2a m b m + b m )(a m − 2a m b m + b m )
para n = 2m y a mbm ≥ 0

x Ejem plo 4: Factorizar + y
32

32

• Solución • Tenem os que: n = 32 = 2(16) 16 2 16 2 x 32 + y 32 = ( x ) + ( y ) • Así:

m y sea= 16

= ( x16 + 2 ⋅ x16 y 16 + y 16 )(x16− 2 ⋅ x16 y 16 + y 16 )

= ( x16 + 2 ⋅ x 8 y 8 + y 16 )(x16 − 2 ⋅ x 8 y 8 + y 16 )

• Por lo tanto: • x 32 + y 32 = ( x16 +

2 ⋅ x 8 y 8 + y 16 )(x16 − 2 ⋅ x 8 y 8 + y 16 )

Teorem a 5
• Sea a m + b n con m, n núm eros naturales pares entonces a m + b n = (a p + 2a p b q + b q )(a p − 2a p b q + b q ) para m = 2 p, n = 2q y a p b q ≥ 0 • Demostración m • Com o m y n son pares: = 2...