Factorizacion

Factorización
Casos de factorización:
1) Factor común
CONCEPTO DE FACTORIZACIÓN
Un factor es cada uno de los números que se multiplican para formar un producto.
Ejemplo.
Sean los siguientes productos:
(3)(2) = 6 , por lo que factores de son 3 y .
(5)(2) =10, por lo que factores de son 5 y 2 .
(5)(3)(2) = 30, por lo que factores de 30 son 5, 3 y 2 .
Nótese como elnúmero 2 aparece como factor común de 6 , 10 y 30 porque cada uno de estos
números se divide exactamente entre dicho factor común.
Cuando una expresión algebraica está contenida exactamente en todos y cada uno de los términos de un
polinomio, se dice que es factor común de ellos.
Ejemplos.
1) El término
2
3x es factor común de x y
4
6 , de
3
9x y de
2 2
−12x y porque cadamonomio puede
expresarse como el producto de
2
3x por otro término, es decir:
x y ( x )( x y)
4 2 2
6 = 3 2
9x (3x )(3x)
3 2
=
( )( )
2 2 2 2
−12x y = 3x − 4y
2) El término
2
4ab es factor común de
2 3
28a b , de
3 2
− 20a b y de
3
8ab porque cada monomio puede
expresarse como el producto de
2
4ab por otro término, es decir:
28a b (4ab )(7ab)
2 3 2
=
( )( )
32 2 2
− 20a b = 4ab −5a
8ab (4ab )(2b)
3 2
=
Factorizar es el proceso que permite descomponer en factores una expresión matemática. Esto significa
que factorizar es convertir una expresión en el producto indicado de sus factores.
En toda expresión debe obtenerse la máxima factorización posible. Los tipos de factorización más
utilizados se exponen a continuación.
MONOMIO COMO FACTORCOMÚN
Para encontrar el factor común de los términos de un polinomio se busca el máximo común divisor (MCD)
de los coeficientes de todos los términos, y de las literales que aparezcan en todos los términos, se
escogen las que tengan el menor exponente.
6 2
10
2) Factor común por agrupación o asociación
Existen polinomios cuyos términos no contienen un mismo factor común. En esoscasos, se debe
factorizar por agrupación, procedimiento que combina los dos métodos anteriores.
Ejemplos.
Factorizar los siguientes polinomios:
1) ax+bx+aw+bw
Para los primeros dos términos se toma como factor común a x y para los otros dos a w :
x(a + b)+ w(a + b)
ahora, se factoriza el polinomio (a +b):
(a +b)(x +w)
∴ ax+bx+ aw+bw= (a +b)(x +w)
2) ax+ ay + 4x + 4y
El factorcomún para los primeros dos términos es a y para los otros dos es 4 :
a(x + y)+ 4(x + y)
después, se factoriza el polinomio (x + y):
(x + y)(a + 4)
∴ ax + ay + 4x + 4y = (x + y)(a + 4)
3)
2
10px −15py + 6xy − 9y
Para los primeros dos términos se toma como factor común a 5 p y para los otros dos a 3y :
5 p(2x −3y)+ 3y(2x − 3y)
ahora, se factoriza el polinomio (2x −3y):
(2x−3y)(5 p + 3y)
10px 15py 6xy 9y (2x 3y)(5p 3y)
2
∴ − + − = − +
4) 8ac − 4ad −6bc +3bd
El factor común para los primeros dos términos es 4a y para los otros dos es −3b :
4a(2c −d)−3b(2c − d)
después, se factoriza el polinomio (2c −d):
(2c − d )(4a −3b)
∴ 8ac−4ad −6bc+3bd = (2c −d)(4a −3b)Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Factorización Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa
45) 3 10 3
2
a + a +
Esta expresión puede rescribirse como: 3 9 3
2
a + a + a +
El factor común para los primeros dos términos es 3a :
3a(a +3)+ a +3
3 10 3 ( 3)(3 1)
2
∴ a + a + = a + a +
6) 5x y 3x y 9xz 15x z x y(5x 3) 3xz(3 5x ) (5x 3)(x y 3xz) x(5x 3)(xy 3z)
4 2 3 2 2 2 2 2 2
+ − − = + − + = + − = + −
7) 3 2 2 3 3 2 3 2 (3 2) (3 2)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
abx − y − x + aby = abx− x + aby − y = x ab− + y ab−
( )( )
2 2
= 3ab − 2 x + y
8) 2ab + 2a −b − 2ac + c −1= 2ab −b − 2ac + c + 2a −1= b(2a −1) − c(2a −1)+ (2a −1)
= (2a −1)(b − c +1)
Otra forma de resolver este ejercicio es escribirlo como 2ab − 2ac + 2c − b + c −1:
2ab − 2ac + 2a − (b − c + 1) = 2a(b − c +...