factorizacion

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS


Hemos visto el problema de encontrar el producto, dados los factores. La factorización es encontrar los factores, dado el producto.

Se llaman factores de una expresión algebraica aquellos que multiplicados entre sí dan como resultado la primera expresión.

Ejemplo: sí; (x
2)(x 3)
x 2 5x 6

Tenemos que, x
2 y (x
3) son factores de x2
5x 6 , así pues, factorizar una expresión
algebraica es convertirla en el producto indicado.

Existen diversos procedimientos para descomponer en factores un producto, los mencionaremos, sin perjuicio de que en algunos casos podamos combinar dos o más de estos procedimientos.


1. FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN.

Cuando en los diversos términos de un polinomio participa unmismo factor , se dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor común.

Ejemplos:

Factorizar los siguientes polinomios:

a) a 2 2a
a(a 2)

b) 10b
30ab2
10b(1
3ab)

c) 10a 2
5a 15a 35a(2a
1 3a 2 )

d) 5a 3 b 2 x
15a 4 bx 2
35a 2 b 2 x 4 y 5
5a 2bx(ab
3a 2 x
7bx 3 y 5 )

e) 12a 2 b 3
30a 3 b 2
18ab 4
42a 4 b
6ab(2ab2
5a 2 b
3b 3
7a 3 )

f) 15a 2 x 2
30a 2 x 3
105a 2 x 4
75a 2 x 5
15a 2 x 2 (1 2x
7x 2
5x 3 )

g) 44ax n
22a 2 bx n 1
66a 3 xn 2
22ax n ( 2
abx
3a 2 x 2 )

h) x m n yn
x 2n ymn
xn y 2m
x n y(x m yn 1
xn y m n 1
y2m 1 )


2. FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES.

Como su nombre lo indica consiste en aplicar los productos notables ya conocidos.


a). Factorización de una diferencia de cuadros.

Se sabe que: a 2 b 2 (a b)(a b) ; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al
producto de dos binomios conjugados.Ejemplos:

1) 9x 2
4y 4
(3x)2
(2y2 )2
(3x
2y 2 )(3x
2y 2 )

2) 25x 2
16a 2 b 2
(5x)2
(4ab)2
(5x
4ab)(5x
4ab)


x 4 16
3)
(x 2 )2

(x 2
(4)2

4)(x
(x 2

2)(x
4)(x2

2)
4) (x2
4)[(x)2
(2)2 ]



x 2 y 2
x 2
y 2
x
y
x
y
16 9 4 3 4 3 4 3
4)



b). Factorización de un cuadrado perfecto:

Del desarrollo delbinomio al cuadrado se tiene:

(a b) 2
a2 2ab
b 2 y también (a
b) 2
a2 2ab b 2

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, así tenemos

que 4a 2

es cuadrado perfecto porqué es el cuadrado de 2a .

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, una vez que ha sido identificado como tal, con apoyo de los productos notables, se extrae raízcuadrada al primero y tercer termino del trinomio separándose estas raíces por medio del signo del segundo termino y elevando este binomio al cuadrado.

Ejemplos:

1) m2
2m 1 (m
1)2
(m 1)(m 1)

2) 4x 2
25y 2
20xy . Ordenando y factorizando, se tiene:

4x 2
20xy
25y 2
(2x
5y) 2
(2x
5y)(2x
5y)

3) 1
16ax 2
64a 2 x 4
(1 8ax 2 ) 2
(1 8ax 2)(1
8ax 2 )

4) 9x 2
12xy
4y 2
(3x
2y) 2
(3x
2y)(3x
2y)


5) 4x 2
4xy y 2
(2x
y)2
(2x
y)(2x y)


2
6) x 2 x 1 x 1 x 1 x 1
4 2 2 2

a 2
7)
16
2
3 2 a
ab 9b 3b
2 4

a a
3b 3b4 4

1 b b 2
8)
2
1 b 1 b 1 b
4 3 9 2 3
2 3 2 3


c). Factorización de una suma o diferencia de cubos.

Se sabe que: a 3 b 3
(a b)(a 2
ab b 2 ) y a 3 b 3
(a b)(a 2
ab b 2 )

Ejemplos:

1). Factorizar: 8x 3 216y 3 . Llevándolo al tipo de suma de cubos tenemos:

8x 3...