factorizacion

Sacar factor común
Sacar factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)

Una raíz del polinomio será siempre x = 0

x3 + x2 =x2 (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1

Doble extracción de factor comúun
x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

Diferencia de cuadrados
Una diferencia decuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 − b2 = (a + b) · (a − b)

x2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)

Las raíces son X = − 2 y X = 2


Trinomio cuadrado perfecto
Un trinomio cuadrado perfecto es eldesarrollo de un un binomio al cuadrado.

a2 + 2 a b + b2 = (a + b)2

trimomio

a2 − 2 a b + b2 = (a − b)2

trimomio


Trinomio de segundo grado
Para descomponer en factores el trinomio desegundo grado P(x) = a x2 + bx +c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x1 y x2, el polinomio descompuesto será:

a x2 + bx +c = a · (x -x1 ) ·(x -x2 )

trinomio

trinomio

ecuación de 2º grado

factorización


Polinomio de grado superior a dos
Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raícesenteras.

Descomposición de un polinomio de grado superior a dos y cálculo de sus raíces
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6

1Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2Aplicando elteorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3Dividimos por Ruffini.

Ruffini

4Por ser la división exacta, D =d · c

(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estarelevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 ·(− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

Ruffini

(x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6)

Otra raíz es x = -1....