Factorizacion

En matemáticas, la factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibeel nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel decomplejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA.
Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

Binomios
Diferencia de cuadrados
Suma o diferencia de cubos
Suma odiferencia de potencias impares iguales
Trinomios
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios
Factor común
Triángulo de Pascal como guía para factorizar
Caso I - Factor común
Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Tambien sepuede describir como buscar el factor comun entre los factores

a^2+a b = a (a+b)
9a^2-12ab+15a^3b^2-24ab^3=3a(3a-4b+5a^2b^2-8b^3)
Factor común trinomio
Factor común por agrupación de términos

ab + ac + ad = a ( b + c + d) \,
ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \, y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
Factor común polinomio
Primero hay que determinarel factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

un ejemplo:

5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomiooriginal, es decir:

(5x^2 + 3x +7) \,
La respuesta es:

(5x^2+3x+7)(x-y) \,
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

5a^2(3a+b) +3a +b \,
Se puede utilizar como:

5a^2(3a+b) + 1(3a+b) \,
Entonces la respuesta es:

(3a+b) (5a^2+1) \,
Caso II - Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuentaque son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

2y + 2j +3xy + 3xj\,
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

= (2y+2j)+(3xy+3xj)\,
Aplicamos el caso I (Factor común)

= 2(y+j)+3x(y+j)\,
= (2+3x)(y+j)\,
Ejercicio # 2 del algebra am - bm + an - bn =(am-bm)+(an-bn) =M(a-b)+ n(a-b =(a-b)(m+n)Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada delprimer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\,
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\,
Ejemplo 1:

(5x-3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2\,
Ejemplo 2:

(3x+2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2\,
Ejemplo 3:

(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\,
Ejemplo 4:

4x^2+25y^2-20xy\,...