FACTORIZACION

FACTORIZACIÓN
Factorizar es escribir o representar una expresión algebraica como producto de sus
factores:
Ejemplo:
x4 - 1 = (x2 + 1) (x2 - 1)
(x2 + 1) (x + 1) (x - 1)
Una expresión queda completamente factorizada cuando se la representa como el
producto de la mayor cantidad posible de factores de "primer grado" o "factores lineales".
Se llama factores lineales las que tienen grado 1.
* comparascon ejemplo anterior
* factor primo: que no se puede seguir factorizando: ejemplo(x+3)2 F. primo =(x+3)
Métodos de factorización
1)

Factor común:

a) Se halla el M.C.D. de los
coeficientes de los términos de la
expresión dada.
b) Se multiplica dicho M.C.D. por los
factores literales comunes a
todos
los términos, pero con su menor
exponente. Este
producto se llama
factor común.
c) Se multiplica(en forma indicada)
el factor común hallado por el
resultado de dividir cada término de
la expresión
dada entre el factor
común hallado.
Ejemplo: 24x3y2m4 + 36x4y3m - 8x2yz3
II) 4x2y
III) 4x2y (6xym4 + 9x2y2m - 2z3)

Ejemplos:
1. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 + 48 m5n4
12m2n
12m2n (1 + 2mn - 3m2n2 + 4m3n3)
2.

17a5b2 - 51a4b3 + 85a2bz4
17a2b (a3b - 3a2b2 + 5z4)

3.

4n + 12n = 4n (1 + 3n)

4.

27x3y2z -18xyz2 + 9x2y3z

9xyz (3x2y - 2z + xy2)
5.

55x8/3 + 5x5/3 - 15x2/3
5x2/3 (11x6/3+x3/3-3)
5x2/3 (11x2 + x- 3)

6.

b (x - a) + x (x - a)
(x - a) (b + x)

7.

7m3 (x + 8)2 - (x + 8)3
(x + 8)2 [7m3 - (x + 8)]
(x + 8)2 [7m3 - x - 8]

8.

m2 (5x - 3a) + 2abn (5x - 3a)
(5x - 3a) (m2 + 2abn)

9.

3b(a + 1) + a + 1
3b(a + 1) + (a + 1)
(a + 1) (3b + 1)

10. (x - 1) (x - 2) (x - 3) + (x - 1) (x - 2) (x -1)[(x - 2) (x - 3) + (x - 2) - 1 + 3(x - 3)]
(x - 1) (x - 3) [x - 2 + 1 + 3]
(x - 1) (x - 3) (x + 2)
2).Agrupación de términos
1.

ax + by + bx + ay
(ax + bx) + (ay + by)
x(a + b) + y (a + b)
(a + b) (x + y)

2.

x3 + x2 + x + 1
(x3 + x2) + (x + 1)
x2(x + 1) + (x + 1)
(x + 1) (x2 + 1)

3.

3a - b2 + 2b2x - 6ax
(3a - b2) + (2b2x - 6ax)
(3a - b2) + 2x(b2 - 3a)
(3a - b2) - 2x(3a - b2)
(3a - b2) (1 -2x)

(x - 1) + 3 (x - 1) (x -3)

4.

2am - 2an + 2a - m +n - 1
2a(m - n + 1) + (-m +n - 1)
2a(m - n + 1) - (m - n + 1)
(m - n + 1) (2a - 1)

5.

a3 + a2 + a + 1 + x2 + a2x2
(a3 + a) + (a2 + 1) + x2 + a2x2
a(a2 + 1) + (a2 + 1) + x2 (1 + a2)
(a2 + 1) (a + 1 + x2)

3) Trinomio cuadrado perfecto:
1.
2.
3.
4.

Ordenar el Trinomio.
El 1ro y 3er término deben ser positivos.
Los extremos deben sercuadrados
perfectos.
do
El 2 término debe ser el doble
producto de las raíces de los extremos.
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Ejemplo : x4 - 4x2 + 4
x2 2(2)x2
(x2 - 2)2

1.

2

1 + 49x4y2 + 14x2y
49x4y2 + 14x2y +1
7x2y (7x2y)(1) 1

2.

-x2 + 2x - 1
-[x2 - 2x + 1]
-[x - 1]2
-(x - 1)2

4.

4a2 + 4ab + b2
2a 2(2a)b b
(2a + b)2

6.

32a3x2 + 200y2a3 - 160xa3y
8a3 (4x2 + 25y2 - 20xy)
8a3(4x2 - 20xy + 25y2)
2x 2(2x)(5y) 5y
3
8a (2x - 5y)2

7.

4(x + 1)2 + 4(x + 1) + 1
2(x + 1) 2[2(x+1) 1] 1
[2(x + 1) + 1]2
[2x + 2 + 1]2
(2x + 2 + 1]2
(2x + 3)2

9(x - y)2 + 12 (x2 - y2) + 4 (x + y)2
3(x - y) 2.3(x-y).2(x+y) 2(x+y)
12(x2-y2)
[3(x - y) + 2(x + y)]2 =
(3x - 3y + 2x + 2y)2
(5x - y)2
4) Diferencia de cuadrados:
8.

1.

x4 - 1
(x2)2 - 12
(x2 + 1) (x2 - 1)
(x2 + 1) (x + 1) (x - 1)

2.

x2- 4
x2 - 22
(x + 2) (x - 2)

3.

(a + x)2 - (x + 2)2
[a + x + x + 2] [a + x - (x + 2)]
[a + 2x + 2] [a + x - x - 2]
(a + 2x + 2) (a - 2)

4.

a2 + 2ab + b2 - x2
(a + b)2 - x2
(a + b + x) (a + b - x)

5.

1 -a2 - d2 + 2ad
1 - (a2 - 2ad + d2)
1 - (a - d)2
[1 + (a - d)] [1 - (a - d)]
(1 + a - d) (1 - a + d)

6.

(5x - 4)2 - 4 (3x + 2)2
(5x - 4)2 - [2 (3x + 2)]2
(5x - 4 + 2(3x + 2) ) (5x - 4 - 2(3x+2) )
(5x - 4 + 6x + 4) (5x - 4 - 6x - 4)
11x (-x - 8)
-11x (x + 8)

*.

Factorizar y dar como respuesta la suma de factores.
m2 - 2mn + 6m - 6n + n2
m2 - 2mn + n2 + 6m - 6n
(m - n) 2 + 6(m - n)
(m - n) [m - n + 6]
(m - n) (m - n + 6)

m - n + m - n + 6 = 2m - 2n + 6
x4 + x-4 + 2
x4 + 2 + x-4
x2 2x2x-2 x-2
(x2 + x-2)2 = (x2 + x-2) (x2 + x-2)
x2 + x-2 + x2 + x-2 = 2x2 + 2x-2 =

2(x2 + x-2)

25(x...