Factorizacion

RESUMEN SOBRE:
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Elaborado por: Jose Daniel Alvarez Hidalgo

¿QUÉ QUIERE DECIR FACTORIZAR UN POLINOMIO?

FACTORIZAR UN POLINOMIO IMPLICA TRANSFORMAR UNA EXPRESIÓN QUE SE ENCUENTRA EN TÉRMINOS DE SUMA O RESTA, COMO UNA MULTIPLICACIÓN.

EJEMPLO:
Expresión no factorizada:

ax + bx + cx
Expresión factorizada

x • (a + b + c )

NOTA IMPORTANTE:
Cuandouna expresión algebraica se factoriza, esta es equivalente a la original; esto quiere decir, que al realizar la operación indicada de la segunda, se obtiene la primera. Ejemplo:

x • (a + b + c )

MITOS DE LAS FACTORIZACIONES:
Una factorización es hacer la expresión más pequeña. Una factorización es simplificar la expresión. Una factorización es resolver la expresión.

EXISTEN VARIOSMÉTODOS DE FACTORIZACIÓN, ENTRE ELLOS:

FACTOR COMÚN AGRUPAMIENTPO DIFERENCIA DE CUADRADOS TRINOMIOS CUADRÁTICOS:
FÓRMULA GENERAL CALCULADORA INSPECCIÓN

SUMA DE CUBOS RECTA DE CUBOS

FACTOR COMÚN

EJEMPLO # 1:

Factorizar : 8ax
3

20 x + 4 x

2

PASO # 1:
¿Cuáles son los términos del polinomio? Los términos son:

8ax

3

20 x + 4 x

2

PASO # 2:
Hallar el factor comúnde los coeficientes numéricos
8 4 2 20 10 5 4 2 1 2 2 4

Factor Común

PASO # 3:
De las variables que se repiten en todos los términos, se extrae la de exponente menor.

8ax

3

20 x + 4 x

2

Se repite la variable “x”

PASO # 4:
Factorizar:

8ax

3

20 x + 4 x =

2

4 x • 2ax

(

2

5x + 1

)

EJEMPLO # 2:

Factorizar :

(x + 3)

2

5 x(x + 3)PASO # 1:
¿Cuáles son los términos del polinomio? Los términos son:

(x + 3)

2

5 x(x + 3)

PASO # 2:
Hallar el factor común de los coeficientes numéricos.
No existe ningún número entero diferente de uno, que los divida a los dos

1

5

r to fac y ha mún o No co éric um n

PASO # 3:
De las expresiones que se repiten en todos los términos, se extrae la de menor exponente.(x + 3)

2

5 x(x + 3)

Se repite el paréntesis “(x+3)”

PASO # 4: Factorizar:

(x + 3)

2

5 x(x + 3) =
5 x]

(x + 3)• [(x + 3)

PASO # 5:
Resolvemos las operaciones indicadas.

(x + 3) 5 x(x + 3) = (x + 3)• [(x + 3) 5 x]= (x + 3)[x + 3 5 x]= (x + 3)[3 4 x]= (x + 3)(3 4 x )
2

EJEMPLO # 3:

Factorizar : 3 x(2 x 1) 5( 2 x ) 1

PASO # 1:
¿Cuáles son los términosdel polinomio? Los términos son:

3 x(2 x 1) 5( 2 x ) 1

PASO # 2:
Hallar el factor común de los coeficientes numéricos.
No existe ningún número entero diferente de uno, que los divida a los dos

3

5

r to fac y ha mún o No co éric um n

PASO # 3:
De las expresiones que se repiten en todos los términos, se extrae la de menor exponente.

3 x(2 x 1) 5( 2 x ) 1
Aparentemente nadase repite, sin embargo…

PASO # 3:
… las expresiones de los paréntesis son las mismas, solo se necesita hacer un cambio de signo. Veamos:

PASO # 3:

3 x(2 x 1) 5( 2 x ) = 1 3 x(2 x 1) 5(2 x 1) = 3 x(2 x 1)+ 5(2 x 1)

PASO # 4: Factorizar:

3 x(2 x 1)+ 5(2 x 1) = (2 x 1)• (3x + 5)

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO

FACTORIZAR:

ax + a + bx + b

¿Cuáles son los términos dela expresión?

ax + a + bx + b

ax + a + bx + b
En el polinomio NO existen variables que se repitan en todos los términos, pero se repiten dos a dos. Veamos:

ax + a + bx + b
SE REPITE LA LETRA “a” SE REPITE LA LETRA “b”

Se busca el factor común de cada dos términos.

ax + a + bx + b
a (x+1) + b (x+1)

Se busca el factor común de toda la expresión.

ax + a + bx + b

=

a(x+1) + b (x+1)
SE REPITE “(x+1)”

ASÍ:

ax + a + bx + b = a(x + 1)+ b(x + 1) = (x + 1)• (a + b )

FACTORIZACIÓN POR DIFERENCIA DE CUADRADOS

RECORDEMOS!
La tercera fórmula notable:

a

2

b = (a + b )• (a b )
2

EJEMPLO # 1:

Factorizar : x
4

25

PASO # 1:
Revisar si los términos son cuadrados perfectos

x
x = x
2 4

4

25
25 = 5

PASO # 2:
Aplicar...