Factorizacion

Factorizar un polinomio
Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos . Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

Binomios
1.Diferencia de cuadrados
2.Suma o diferencia de cubos
3.Suma o diferencia de potencias impares iguales
Trinomios
1.Trinomio cuadrado perfecto
2.Trinomiode la forma x²+bx+c
3.Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios
1.Factor común
[editar] Caso I - Factor común
Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer termino mas o menos cuadrado del segundo por el primero mascuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer termino, sabiendo esto, sera sumamente sencillo resolver los factores comúnes.

[editar] Factor común monomio
Factor común por agrupación de términos

y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
[editar] Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común delos coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

un ejemplo:

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

La respuesta es:

En algunoscasos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

Se puede utilizar como:

Entonces la respuesta es:

[editar] Caso II - Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

entonces puedesagruparlos de la siguiente manera:

Aplicamos el primer caso (Factor común)

[editar] Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y detercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Organizando los términos tenemos

Extrayendo la raíz cuadrada del primer yúltimo término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo termino es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.

[editar] Caso IV - Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado yunidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.)

O en una forma más general para exponentes pares:

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de binomios conjugados.

[editar] Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica por tener tres sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no cambie.

Nótese que los...