factorización PA=LU

Factorizaci´n PA=LU
o

Septiembre 2008

Factorizaci´n P A = LU
o

Factorizaciones
Al final del semestre habremos visto las factorizaciones
1.2.3.4.5.6.7.8.-

A es el producto de matrices elementales para A invertible.
P A = LU ( Factorizaci´n PALU para matrices generales)
o
A = LDLT (Cholesky sin ra´ cuadrada para sim´trica positiva definida)
ız
e
A = RT R (Cholesky con ra´cuadrada para sim´trica positiva definida)
ız
e
A = QR (Factorizaci´n QR para matrices generales)
o
A = V DV −1 (Diagonalizaci´n)
o
A = V DV T (diagonalizaci´n ortogonal para A sim´trica)
o
e
A = V ΣU (descomposici´n de valores singulares para A matriz general
o
de m × n)

La factorizaci´n P A = LU se utiliza en la pr´ctica s´lo para matrices
o
a
o
cuadradas invertibles.
1Factorizaci´n A=LU
o

Tabulaci´n de Datos
o

Para matrices generales no cuadradas o matrices cuadradas no invertibles
se utiliza la descomposici´n de valores singulares.
o
La factorizaci´n QR es la base de los m´todos num´ricos para determinar
o
e
e
las factorizaciones en 6), 7) y 8). Estos m´todos se estudian en cursos de
e
An´lisis Num´rico.
a
e

2

Factorizaci´n A=LU
oTabulaci´n de Datos
o

Factorizaci´n A=LU
o
Sea A de m × n. La factorizaci´n A = LU
o
• se obtiene al llevar la matriz A a la forma escalonada U

usando exclusivamente la operaci´n elemental fila: sumar un m´ltiplo
o
u
de una fila a otra.
• la matriz escalonada U de m × n obtenida no tiene los pivotes iguales a
1 en general.
• La factorizaci´n A = LU expresa a cada fila de A como combinaci´no
o
lineal de las filas de U .
3

Factorizaci´n A=LU
o

Tabulaci´n de Datos
o

• la matriz L de m × m es triangular inferior con 1’s en la diagonal


1

0
1

0
0
1

 l2,1

L =  l3,1 l3,2
 .
 .
lm,1 lm,2 lm,3

···
···
···
...
···

0
0
0








1

• A = LU no siempre puede realizarse pues en ciertos casos hay
intercambios de filasforzados, en cuyo caso se obtiene la factorizaci´n
o
P A = LU .
• La ecuaci´n A = LU expresa a la fila i de A como combinaci´n lineal de
o
o
las filas de U con coeficientes en la fila i de L.

4

Factorizaci´n A=LU
o

Tabulaci´n de Datos
o

Hay dos maneras de ver la factorizaci´n P A = LU .
o
i) Matricial: interpretando a la eliminaci´n de gauss como multiplicaciones
o
por matriceselementales
ii) Vectorial: interpretando las filas de A como combinaciones lineales de las
filas de U .

5

Factorizaci´n A=LU
o

Tabulaci´n de Datos
o

Ejemplo 1.

A

=

· · · E (−l )
2,1
2,1 
· · ·  −→ 
···




E3,1 (−l3,1 )

−→












0




· · · E (−l ) 
 3,2 3,2 
· · ·  −→ 
···

0
0

···

··· 
···
···


··· = U

···

0
0



0

Matricialmente
E3,2(−l3,2) E3,1(−l3,1) E2,1(−l2,1) A = U








1
0
0
1
0 0
1
0 0
 0
1
0  0
1 0   −l2,1 1 0  A = U
0 −l3,2 1
−l3,1 0 1
0
0 1
6

Factorizaci´n A=LU
o

Tabulaci´n de Datos
o

Entonces
A = (E2,1(−l2,1))−1 (E3,1(−l3,1))−1(E3,2(−l3,2))−1 U
1
0 0
A =  −l2,1 1 0 
0
0 1

−1

−1 

−1 

1
0 0
 0
1 0 
−l3,1 0 1

1
0
0
 0
1
0 
0 −l3,2 1

U

Por lo tanto
A = E2,1(l2,1) E3,1(l3,1) E3,2(l3,2) U

= LU

L


1

A =  l2,1
0







0 0
1 0 0
1 0 0
1 0   0 1 0   0 1 0  U = LU
0 1
l3,1 0 1
0 l3,2 1
7

Factorizaci´n A=LU
o

Tabulaci´n de Datos
o

Pero

L

=

=

=

1

 l2,1
0

1
 l2,1
0

1
 l2,1
l3,1
0
0 
1

0 0
1 0 
0 1

0
0
1
0 
l3,2 1
0
1
0



1
0



0
1
0

l3,1
1
0

0
1

l3,1

l3,2


0
1
0  0
1
0

0
0 
1

0
1
l3,2


0
0 
1

Es decir,


1

0
1



0
0 U
A =  l2,1
l3,1 l3,2 1
La matriz L tiene los multiplicadores usados en la eliminaci´n de
o
guass. La matriz U es la escalonada sin 1’s...